Математические модели естествознания (стр. 20 из 64)
Натуральные механические системы и уравнение обобщенного II-го закона Ньютона. Рассмотрим механическую систему, положение которой есть точка евклидова пространства H — конечномерного или гильбертова. Ее конфигурационное пространство есть H, а фазовое пространство есть H2 = H × H. Предположим, что лагранжиан системы имеет вид
. (11.17)Здесь M : H → H — линейный симметричный и положительно определенный оператор. Это означает, что для любых ξ,η ∈ H выполняется равенство (Mξ,η) = (ξ,Mη) и (Mξ,ξ) > 0 для всех ξ 6= 0. В бесконечномерном случае это требование нужно усилить, требуя, чтобы существовал обратный оператор M−1, обычно для этого достаточно, чтобы оператор M был положительно определенным, то есть выполнялось неравенство (Mξ,ξ) > γ(ξ,ξ) при некотором γ > 0. Оператор M называется оператором масс или оператором инерции. Первое слагаемое в (11.17) называется кинетической энергией, а функция V — потенциальной энергией. Системы, у которых лагранжиан может быть представлен в виде такой разности, называются натуральными. Из (11.17) получаем Lx˙ = Mx˙, Lx = −gradV (x). Подстановка в уравнение Лагранжа
дает уравнение обобщенного II-го закона Ньютона
Mx¨ = −gradV (x). (11.18)
Интересно заметить, что можно всегда считать оператор M тождественным: M = I. Для этого нужно изменить метрику, определив скалярное произведение. Введем новое скалярное произведение в H, полагая для любых ξ, η ∈ H
(ξ,η)M = (Mξ,η). (11.19)
Легко проверить, что эта билинейная форма удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения (так как оператор M симметричен и положительно определен). Вместе с новым скалярным произведением (11.19), которое называется энергетическим, возникает и новый градиент, обозначим его gradM. Как мы видели ранее (см. (9.17)), для любой функции V на H справедливо соотношение
gradV (x) = M gradM V (x). (11.20)
Подставляя это выражение в (11.18) и «сокращая» на M (точнее, применяя к полученному равенству обратный оператор M−1), перепишем (11.18) в эквивалентной форме
x¨ = −gradM V (x). (11.21)
Я предполагаю, что именно рассмотрения такого рода, особенно в динамике сжимаемого газа, привели А.Эйнштейна к выводу, что метрика мира определяется распределением масс.
Замечу еще, что оператор M мог бы зависеть от x. Тогда получилось бы, что кинетическая энергия есть квадратичная форма от скоростей с коэффициентами, зависящими от положений частиц. В обобщенных координатах q1, q2,... , qn она приняла бы вид
. (11.22)Такие системы также называются натуральными. Вообще, если даже коэффициенты не зависят от координат, то такая зависимость, как правило, немедленно появится, когда мы перейдем к другим (криволинейным) координатам.
12. Законы сохранения в механике
Закон сохранения энергии
Предположим, что лагранжиан L = L(q,q˙) не зависит от времени. Сейчас мы покажем, что в этом случае система обладает интегралом. Это интеграл энергии. Его проще всего получить — для различных форм уравнения движения — если запомнить, что соответствующая ему косимметрия есть скорость q˙. Остальное — выкладки.
Итак, умножая уравнение Лагранжа, записанное для некоторого решения q(t), скалярно на q˙(t), получаем
(12.1)Таким образом, функция
E(q,q˙) = qL˙ q˙ − L, (12.2)
называемая энергией, есть интеграл данной механической системы. Это утверждение есть закон сохранения энергии в механике.
Легкость этого вывода может нас вдохновить на поиск новых интегралов. Увы, известно, что типичная механическая система других интегралов не имеет. Дальше мы увидим, что существование дополнительных интегралов или законов сохранения связано со специальными свойствами симметрии данной механической системы.
Закон сохранения энергии для натуральной механической системы (11.18) можно вывести из общего результата (12.2). Может быть, проще получить его непосредственно, опять-таки умножая уравнение (11.18) скалярно на x˙. Надо только заметить, что справедлива формула
grad V (x)). (12.3)
В итоге приходим к выводу, что уравнение (11.18) допускает интеграл энергии
(12.4)Сравните выражения L = T − V и E = T + V , где T — кинетическая энергия
. (12.5)Замечу, что в случае, когда лагранжиан L зависит от времени, для энергии, по прежнему определяемой формулой (12.2), получается равенство
. (12.6)Связь законов сохранения с симметриями. Теорема Эмми Нетер
Когда нужно объяснить то или иное явление природы, цепочка ответов на вопросы «почему» заканчивается ссылкой на тот или иной закон сохранения. Но почему выполняются сами законы сохранения? Причиной является симметрия, инвариантность нашего мира относительно тех или иных групп преобразований. Р. Фейнман поставил вопрос о причинах симметрии Вселенной. Никто не может в настоящее время ответить внятно на этот вопрос. Таким образом, сейчас знание о симметрии мира составляет наиболее глубокий уровень понимания законов природы. Физики, работающие на переднем крае своей науки, изучающие природу элементарных частиц (существующих и еще не открытых) и полей, когда нет еще ясных математических моделей, делают свои предсказания, основываясь на гипотезах о тех или иных симметриях.
Идея связи законов сохранения с симметриями пространства, времени и с симметриями рассматриваемых систем возникла уже у классиков механики в XIX веке (Лагранж, Якоби), но в наиболее ясной и общей форме была развита немецким математиком Эмми Нетер. Многие считают ее самым крупным математиком всех времен среди женщин. Теорема, которую мы сейчас с вами будем изучать, — лишь один из ее важных результатов в этом направлении. Вообще-то вся эта работа для Э. Нетер была, возможно, неким исключением. В основном, она известна как основатель новой области математики, которая долго называлась современной алгеброй. Сейчас ее предпочитают называть абстрактной алгеброй. Это теория групп, колец, алгебр, модулей и т.д. (см. книгу ее ученика Ван дер Вардена [7]).
• Мой знакомый, руководитель фирмы по производству системного обеспечения компьютеров, процветающей уже лет 25, предпочитает брать на работу математиков, которые прослушали курс абстрактной алгебры. Ни группы, ни модули, на самом деле, не используются в системном программировании. Но, по-видимому, изучение абстрактной алгебры нужным образом настраивает мозги.
Инвариантность и симметрия. Сначала поговорим немного о симметрии вообще. Что такое симметрия? И кстати, что такое красота? Ответ на второй вопрос — может быть, к счастью, — неизвестен. Но ясно, что симметрия является существенным элементом красоты, хотя многие считают, что для красоты необходимо некоторое, умеренное отклонение от строгой симметрии. Как говорил Френсис Бэкон (1561–1626 гг.), «не существует истинно прекрасного без некоторой доли странности». (Это тот самый Бэкон, который сказал, что “Knowledge itself is power”, дав тем название журналу «Знание – сила»).
Всмотримся в слово «симметрия». Симметрия означает соразмерность, это слово появилось еще у Аристотеля. В современном формально-математическом понимании симметрия означает инвариантность того или иного объекта — множества, функции, векторного поля, и т.д. относительно того или иного преобразования.
Рассмотрим, например, область Ω в Rn или даже просто произвольное множество Ω и пусть задано некоторое преобразование ϕ : Ω → Ω множества Ω в себя. Вы помните, что преобразование — это взаимно однозначное отображение. Подмножество Ω0 ⊂ Ω назовем инвариантным относительно преобразования ϕ, если ϕ(Ω0) = Ω0, так что Ω0 переходит в себя при преобразовании ϕ. В этом случае можно рассмотреть сужение
. Говорят также, что множество Ω0 симметрично относительно преобразования ϕ.Пусть теперь задана вещественная функция f : Ω → R на Ω. Скажем, что она инвариантна относительно преобразования ϕ, если для всех x ∈ Ω
f(ϕ(x)) = f(x). (12.7)
Часто удобно бывает записывать это равенство с использованием обратного отображения ϕ−1 в виде
| f(ϕ−1(x)) = f(x). Можно эти равенства записать и так: | (12.8) |
| f ◦ ϕ = f, f ◦ ϕ−1 = f. | (12.9) |
Дальше уже существенно, что Ω — область в Rn, а отображение ϕ будем считать гладким, хотя бы класса C1. При этих условиях отображение ϕ определяет не только преобразование функций на Ω, но и отображение векторов, скажем, приложенных в некоторой точке a ∈ Ω. Такой вектор v можно мыслить как мгновенную скорость точки, которая в данный момент находится в положении a. Если при этом точка двигается по закону x = x(t), и x(t0) = a, то x˙(t0) = v.