Математические модели естествознания (стр. 21 из 64)
Посмотрим теперь, как двигается преобразованная точка ϕ(x(t)). Ее скорость есть
(12.10)или в координатах
. (12.11)Здесь ϕ0(x) означает производную отображения ϕ в точке x. Эта производная в координатах задается матрицей Якоби
. (12.12)Не совсем точно было бы написать здесь просто знак равенства, потому что матрица Якоби зависит от выбора координат, а производная
— не зависит. Нетрудно дать ей инвариантное (относительно выбора координат) определение.Формулы (12.10) и (12.11) показывают, что разумно определить индуцированное преобразованием ϕ : Ω → Ω отображение векторов в произвольной точке x ∈ Ω при помощи производной отображения ϕ. Это индуцированное отображение часто обозначают ϕ∗(x), согласно определению ϕ∗(x)v = ϕ0(x)v или в координатах
. (12.13)Кратко то, что мы сейчас проделали, выражают словами: гладкое преобразование ϕ действует на функции посредством замены переменных, а на векторы — посредством его производной.
Инвариантные лагранжианы. Лагранжиан L(q,q˙), не зависящий от времени, задается в декартовом произведении D × Rn, где D — область в Rn.
Предположим теперь, что задана однопараметрическая группа преобразований области D gτ : D → D. Это означает, что g0 = id, gτ+s = gτgs для всех τ,s ∈ R. Это отображение переводит точку q ∈ D в точку gτq ∈ D. При этом вектор q˙, приложенный в точке q, подвергается индуцированному преобразованию
и переходит в 
. Скажем, что лагранжиан L инвариантен относительно однопараметрической группы gτ, если выполняется равенствоL(gτq,gτ0(q)q˙) = L(q,q˙) (12.14)
для всех τ ∈ R, q ∈ D, q˙ ∈ Rn.
Мы уже знаем, что однопараметрическая группа преобразований области D определяется векторным полем Q на D, так что gτ есть эволюционный оператор автономного дифференциального уравнения
, (12.15)при этом q(τ) = gτq0 есть решение задачи Коши для этого уравнения с начальным условием q(0) = q0.
Теорема Э.Нетер. Пусть лагранжиан L = L(q,q˙) не зависит от времени и инвариантен относительно однопараметрической группы преобразований gτ, так что выполняется (12.14). Тогда соответствующая механическая система имеет интеграл
I(q,q˙) = Lq˙q0, (12.16)
где q0 = Q(q).
Доказательство: Ввиду условия инвариантности (12.14) действие S инвариантно относительно преобразований gτ:
t2 t2
Z Z
S = L(q,q˙)dt = L(gτq,gτ0(q)q˙)dt. (12.17)
t1 t1
Левая часть от τ не зависит. Поэтому производная от правой части по τ равна нулю.
Введем вариацию δq, соответствующую деформации gτ : q 7→ gτq
. (12.18)Дифференцируя это равенство по t и меняя местами производные по t и по τ, получим
(12.19)Теперь варьирование равенства (12.17) (то есть дифференцирование по параметру деформации τ при τ = 0) с учетом соотношений (12.18) и (12.19) дает равенство
t2 Z
| (Lq(q,q˙)δq + Lq˙(q,q˙)δq˙)dt = 0. t1 | (12.20) |
Пользуясь основной формулой вариационного исчисления δq˙ = (δq)· и интегрируя по частям (см. формулы (10.9)), преобразуем (12.20) к виду
. (12.21)Согласно уравнению Лагранжа, интегральное слагаемое исчезает, и мы получаем
. (12.22)Поскольку это верно для любых t1, t2, функция Lq˙ δq = Lq˙ q0 есть интеграл. Теорема доказана.
Конечно, можно провести доказательство непосредственно, подставляя выражение (12.16) в уравнение Лагранжа. Но я ненавижу такие доказательства, которые скрывают путь, которым можно прийти к результату. Проведенное доказательство показывает, что условие инвариантности лагранжиана расширяет класс допустимых деформаций по сравнению с принципом Гамильтона, что и приводит к закону сохранения.
Замечу, что изложенная теорема в действительности является частным случаем значительно более общих и глубоких результатов Э. Нетер (см. книгу П. Олвера [33]).
Теперь рассмотрим приложения теоремы Нетер. Мы увидим, что основные законы сохранения имеют своей причиной свойства симметрии пространства. Замечу, что закон сохранения энергии был выведен выше в случае лагранжиана L(q,q˙), не зависящего от времени. А это означает, что он является следствием однородности времени — инвариантности законов природы относительно сдвигов времени. Этот закон не следует непосредственно из доказанной нами теоремы, но может быть получен из более общих результатов Э. Нетер.
Трансляционная инвариантность и интеграл импульса
Рассмотрим натуральную механическую систему с лагранжианом
(12.23)и уравнениями движения
Mx¨ = −gradV (x). (12.24)
Здесь x — вектор-функция со значениями в H. Каждый вектор a ∈ H определяет преобразование сдвига (трансляции) Ta : H → H, Ta : x 7→ x + a. Предположим, что потенциальная энергия V (x) инвариантна относительно сдвигов вдоль некоторого направления (заданного вектором a). Это означает, что для любого s ∈ R и любого x ∈ H выполнено равенство V (Tsax) = V (x) или V (x + sa) = V (x).
Преобразование Tsa действует на векторы скорости тривиально, как тождественное:
. (12.25)Поэтому лагранжиан (12.23) инвариантен относительно преобразований Tsa. Имеем
(12.26)Согласно теореме Нетер, заключаем, что уравнение (12.24), при условии инвариантности потенциальной энергии V (x) относительно сдвигов вдоль направления вектора a, имеет интеграл
I(x,x˙) = (Mx,a˙ ). (12.27)
Вектор Mx˙ есть импульс (количество движения), а интеграл I лишь несущественным множителем |a| отличается от проекции импульса на направление вектора a. Важный частный случай уравнения (12.24) — система n материальных точек в R3. В этом случае конфигурационное пространство H = R3n, а оператор M задается диагональной матрицей
| m1 | | (12.28) | |
| M = | m1 m1 m2 0 m2 m2 0 ... mn mn | ||
| mn | |||
Здесь масса j-й частицы mj повторяется трижды на главной диагонали этой матрицы, потому что масса не зависит от направления движения (это следствие изотропности пространства).