Математические модели естествознания (стр. 22 из 64)

Предположим, что потенциальная энергия не меняется при любом сдвиге всей системы частиц в направлении вектора e ∈ R³. Не ограничивая общности, можно считать, что e — единичный вектор: |e| = 1. Если V = V (x¹,...,xⁿ), где x^j ∈ R³ — положение j-й частицы, то это условие инвариантности запишется в виде

V (x¹ + se,...,xⁿ + se) = V (x¹,...,xⁿ). (12.29)

Импульс системы частиц в R³ имеет вид

n

I_M = ^Xm_jx˙^j. (12.30)

j=1

Из предыдущего видно, что условие (12.29) влечет существование интеграла

. (12.31)

Это — закон сохранения компоненты импульса I вдоль направления e. В случае, например, потенциальной энергии

V = ^X w_ij(|xⁱ − x^j|)

1≤i<j≤n

условие инвариантности (12.29) выполнено, очевидно, при любом векторе e. Таким образом, в этом случае имеет место закон сохранения вектора импульса.

Примечательно и практически очень важно, что форма интегралов импульса не зависит от потенциальной энергии. Поэтому законом сохранения импульса можно пользоваться, не зная явно законов взаимодействия частиц, будучи лишь уверенными в трансляционной инвариантности потенциальной энергии.

В условиях, когда сохраняется вектор импульса, центр масс системы двигается с постоянной скоростью, по инерции. Напомню, что положение центра масс, согласно определению, есть

. (12.32)

Прежде, чем перейти к выводу закона сохранения момента импульса, рассмотрим некоторые общие результаты об изометриях банаховых и гильбертовых пространств.

Изометрии и вращения банаховых и гильбертовых пространств

Оператор A : X → X, где X есть вещественное банахово пространство, называется изометрическим оператором или изометрией, если он сохраняет расстояния (Рис. 3) для любых точек x и y пространства X

kAx − Ayk = kx − yk. (12.33)

_x Ax

Ay _y

Рис. 3

Разумеется, это определение можно распространить и на метрические пространства.

Очевидно, оператор сдвига T_a : X → X : x 7→ x + a является изометрией для любого a ∈ X. У этого оператора при любом a 6= 0 нет неподвижных точек. Изометрическое отображение, которое обратимо и имеет неподвижную точку, называется вращением. Дальше будем считать, что эта неподвижная точка есть 0 (ноль) пространства X. Итак, оператор A будем называть вращением, если он удовлетворяет условию (12.33) и A(0) = 0.

Справедлива замечательная теорема С. Мазура и С. Улама: всякоевращениебанаховапространстваестьлинейныйоператор. Доказательство этой глубокой теоремы можно найти в книге С. Банаха [5], а также в Приложении 2 в этом курсе лекций. В случае евклидова или гильбертова пространства Вы, если постараетесь, сможете, я думаю, провести доказательство самостоятельно.

• С. Мазур и С. Улам — польские математики. Улам известен своей замечательной фантазией — среди многих его результатов вспоминается, например, идея записать ряд натуральных чисел по спирали — тогда на диагонали вдруг возникают ряды простых чисел (как он сам рассказывал, такую картинку он нарисовал на каком-то заседании, стараясь не заснуть). Ему также принадлежит идея термоядерной бомбы.

Нам дальше будут нужны лишь изометрические операторы в евклидовом или в гильбертовом вещественном пространстве H. Пусть оператор U : H → H является вращением (чаще такие операторы называются ортогональными или, особенно в случае комплексного гильбертова пространства H, унитарными). Условие изометричности (12.33) можно записать в виде

(Ux,Ux) = (x,x). (12.34)

Мы учли, что U — линейный оператор, и заменили x−y в (12.33) на x. Это равенство можно также записать в виде

((U^∗U − I)x,x) = 0. (12.35)

оператор U^∗U −I (U^∗ — сопряженный оператор) самосопряжен и порождает нулевую квадратичную форму. Поэтому

U^∗U = I. (12.36)

В конечномерном случае отсюда следует, что ортогональный оператор обратим. Действительно det I = 1, det(U^∗U) = detU^∗ detU = (detU)².

Поэтому согласно (12.36), detU = ±1, так что U — обратимый оператор.

Мы видим также, что ортогональные операторы бывают двух типов. Те, для которых detU = 1, называются собственными вращениями, а те, для которых detU = −1, — несобственными вращениями.

Всевозможные вращения пространства Rⁿ — собственные и несобственные — образуют ортогональную группу O(n). Собственные вращения также образуют группу (проверьте!) SO(n). Это подгруппа группы O(n), хотя ее часто нужно бывает рассматривать как самостоятельный объект. Несобственные вращения, конечно, группы не образуют (почему?).

В бесконечномерном гильбертовом пространстве всевозможные вращения не образуют группы — существуют необратимые вращения. Рассмотрим, например оператор U : `<sub>2</sub> → `₂, действующий на произвольный вектор x = (ξ₁,ξ₂,...) ∈ `₂ по правилу

Ux = (0,ξ₁,ξ₂,...). (12.37)

такой оператор называется оператором правогосдвига. Он, очевидно, необратим: уравнение Ux = y для y = (η₁,η₂,...) ∈ `₂ имеет решение только в случае, когда η₁ = 0 (это условие, конечно, необходимо и достаточно). Мы видим, что существование необратимых вращений связано с существованием у гильбертова пространства изометричных ему собственных (то есть не совпадающих со всем пространством) подпространств. Разумеется, можно и очень интересно рассматривать группу вращений гильбертова пространства, которая состоит из тех и только тех вращений, которые обратимы.

Замечу, что изометрии банаховых пространств также очень интересны и соответствующие группы изометрий и группы вращений довольно разнообразны. Видимо, можно сказать, что в случае евклидовых пространств группы вращений наиболее богаты. А вот среди банаховых пространств есть такие, у которых имеется лишь конечное число вращений. Встречаются даже случаи, когда группа вращений состоит из одного тождественного оператора.

Вращение и кососимметричные операторы. Предположим, что заданное однопараметрическое семейство U(s) : H → H вращений образует группу. Дифференцируя равенство (12.36) по s, получаем

U^∗0(s)U(s) + U^∗(s)U⁰(s) = 0, (12.38)

а затем полагая s = 0, для A = U⁰(0) выводим равенство

A^∗ + A = 0. (12.39)

Мы учли, что U(0) = I и U^∗(0) = I. Таким образом, генератор A = U⁰(0) однопараметрической группы вращений есть кососимметрический оператор. Это означает (2.10), что группа операторов U(s) есть эволюционный оператор уравнения

x⁰ = Ax (12.40)

с кососимметрическим оператором A.

Обратное тоже верно. Рассмотрим уравнение (12.40) в H, и пусть оператор A кососимметричен: A^∗ = −A. Тогда эволюционный оператор этого уравнения U(s) для любого s ∈ R есть вращение. Действительно, пусть x(s) — любое решение уравнения (12.40). Умножая это уравнение на x(s), получим

. (12.41)

Второе равенство следует из кососимметричности:

(Ax,x) = (x,A^∗x) = −(x,Ax),

так что (Ax,x) = 0 для всех x, если A — кососимметрический оператор. Из (12.41) следует равенство

(U(s)a,U(s)a) = (a,a), (12.42)

где a = x(0). Поскольку a — произвольный элемент пространства H, отсюда следует, что U(s) есть вращение. Даже в случае бесконечномерного пространства H нетрудно доказать, что U(s) — обратимый оператор для любого s, лишь бы оператор A был ограничен.

Интересно отметить, что эволюционный оператор U(s) неавтономного уравнения

x⁰ = A(s)x (12.43)

с кососимметрическим операторным коэффициентом (A^∗(s) = −A(s) для всех s) тоже является вращением. Доказательство, данное выше для автономного случая, полностью сохраняется.

Размерность линейного пространства кососимметрических операторов

в Rⁿ (кососимметричных n×n матриц) есть, очевидно,

. Эта размерность совпадает с n только при n = 3.

В пространстве R³ кососимметрический линейный оператор действует как векторное умножение на постоянный вектор. Действительно, в этом случае для векторного произведения _ω ∧ x имеем

(12.44)

для любых x = (x₁,x₂,x₃) и ω = (ω₁,ω₂,ω₃). С другой стороны, если