Математические модели естествознания (стр. 23 из 64)

то

,

 αx2 + βx3 

Ax = _ −αx₁ + γx_{3 }.

−βx₁ − γx₂

Чтобы выражения Ax и _ω ∧ x совпадали, нужно положить α = −ω₃, β = ω₂, γ = −ω₁. Таким образом, векторному произведению (12.44) соответствует кососимметрическая матрица

. (12.45)

Интеграл момента количества движения

Интегралы момента количества движения возникают, когда лагранжиан L инвариантен относительно некоторой однопараметрической подгруппы группы вращений пространства H. Такая подгруппа состоит из операторов вида e^sA, где ее генератор A есть кососимметрический оператор. Условие инвариантности имеет вид

L(e^sAx,e^sAx˙) = L(x,x˙). (12.46)

Согласно теореме Э. Нетер, из условия (12.46) следует, что система имеет интеграл

M_A = (L_x˙,Ax) (12.47)

для всех x, x˙ ∈ H, s ∈ R. Мы учли, что

.

Рассмотрим механическую систему, у которой конфигурационное пространство есть евклидово пространство H, а лагранжиан L = L(x,x˙) не зависит от времени. Важнейшим примером служит натуральная механическая система. Ее уравнение движения дается обобщенным вторым законом Ньютона

Mx¨ = −gradV (x), (12.48)

а лагранжиан определяется равенством

. (12.49)

В случае натуральной системы интегралы типа момента количества движения чаще всего получаются, когда потенциальная энергия инвариантна относительно той или иной (тех или иных) подгруппы (подгрупп) группы вращений, то есть, когда выполняется условие

V (e^sAx) = V (x). (12.50)

Для инвариантности лагранжиана (12.49) нужно дополнительно потребовать, чтобы и кинетическая энергия была инвариантна, то есть, чтобы выполнялось равенство

(Me^sAx,e˙ ^sAx˙) = (Mx,˙ x˙) (12.51)

для любых x˙ ∈ H, s ∈ R. Учитывая, что (e^sA)^∗ = e^sA∗ = e^−sA, это равенство можно записать в виде

(e^−sAMe^sAx,˙ x˙) = (Mx,˙ x˙). (12.52)

Слева и справа стоят квадратичные формы, записанные в стандартном виде, с самосопряженными операторами M и e^−sAMe^sA, поэтому из (12.52) следует операторное равенство

e^−sAMe^sA = M. (12.53)

Это условие зачастую довольно сложно проверить. Ему, однако, можно придать более простую форму. Дифференцируя равенство (12.53) по s, получим

− Ae^−sAMe^sA + e^−sAMe^sAA = 0. (12.54)

Если учесть (12.53), то это равенство принимает вид

− AM + MA = 0. (12.55)

Таким образом, из (12.53) следует, что операторы A и M коммутируют: MA = AM. Верно и обратное: если выполняется (12.55), то выполнено и условие (12.53). Действительно, вводя обозначение N(s) = e^−sAMe^sA, для оператор-функции N(s) получаем дифференциальное уравнение

(12.56)

Согласно определению N(s) имеем также начальное условие

(12.57)

Задача Коши (12.56), (12.57) для операторного уравнения (12.56) однозначно разрешима при любом линейном операторе M. Это доказывается точно так же, как для обычных векторных уравнений, более того, уравнение (12.56) есть частный случай векторного дифференциального уравнения. Но одно решение данной задачи Коши очевидно: N(s) = M для всех s ∈ R. Это и означает, что равенство (12.53) является следствием равенства (12.55).

Итак, мы установили, что приинвариантностипотенциальнойэнергии (12.50) дополнительное условие (12.55) обеспечивает инвариантностьлагранжиана(12.49)относительногруппывращенийe^sA, где A — кососимметрический оператор.

Из теоремы Нетер теперь следует, что при выполнении условий (12.50) и (12.55) уравнение обобщенного второго закона Ньютона (12.48) допускает интеграл момента

M_A = (Mx,Ax˙ ). (12.58)

Это, конечно, частный случай интеграла (12.47).

Для механики и физики очень важен класс систем типа (12.48), возникающий при рассмотрении систем n частиц, двигающихся в R³ (или R²) при наличии парного взаимодействия между ними. Для такой системы потенциальная энергия имеет вид

V (x) = ^X w_ij(|xⁱ − x^j|). (12.59)

1≤i<j≤n

Оператор масс M действует в пространстве R³ⁿ (или R²ⁿ) и задается, как мы уже видели, диагональной матрицей (12.28).

Как было уже отмечено раньше, в случае потенциальной энергии (12.59)

n

сохраняется вектор импульса (см. (12.30)) I_M = ^P m_jx˙^j. Теперь мы по-

j=1

кажем, что сохраняется также вектор момента импульса.

Группа U_τ : R³ → R³ вращений

трехмерного пространства (конфигурационного пространства одной частицы) порождает группу вращений U_bτ : R³ⁿ → R³ⁿ конфигурационного пространства системы n частиц согласно равенству

U_bτξ = (U_τξ¹,...,U_τξⁿ) (12.60)

для любого ξ = (_ξ¹,...,_ξⁿ), где

положение jтой частицы. Это, конечно означает, что преобразование U_τ поворачивает всю систему частиц как целое, не меняя их взаимного расположения. Потенциальная энергия (12.59) инвариантна относительно любого вращения U_τ:

V (U_bτx) = ^X w_ij(|U_τxⁱ−U_τx^j|) = ^X w_ij(|xⁱ−x^j|) = V (x),

1≤i<j≤n 1≤i<j≤n

(12.61)

так как U_τ — линейный оператор, сохраняющий расстояния. Кинетическая энергия имеет вид

(12.62)

и также, очевидно, сохраняется при вращении U_τ, более того, сохраняется каждое слагаемое в (12.62). Поскольку U_τ — линейный оператор, его производная совпадает с ним самим, а значит x˙^j перейдет при вращении U_τ в U_τx˙^j. При этом |U_τx˙^j| = |x˙^j| — опять-таки по свойству изометричности.

Генератор A_b группы U_bτ выражается через генератор A группы U_τ:

. (12.63)

Заметим, что оператору A соответствует блочно-диагональная матрица, каждый блок есть матрица A. Интеграл (12.58) принимает вид

. (12.64)

Но мы уже видели, что всякий кососимметрический оператор A в R³ реализуется как векторное умножение, так что Aξ = ω∧ξ, где ω — известный постоянный вектор (точнее, псевдовектор), _ξ ∈ R³. Подстановка в (12.64) дает равенство

n

M_A = ^X(m_jx˙^j,ω ∧ x^j). (12.65)

j=1

Пользуясь тем, что смешанное произведение трех векторов не меняется при циклической перестановке, запишем последнее равенство в виде

. (12.66)

Поскольку ω здесь произвольный вектор, получается, что имеется целых три интеграла (положим, например, в (12.66) ω = e₁, ω = e₂ и ω = e₃, где e₁, e₂, e₃ — координатные орты в R³). Иными словами, для уравнения (12.48) с потенциальной энергией (12.59) и кинетической энергией (12.62) выполнен закон сохранения вектора момента количества движения M, определяемого равенством

M

. (12.67)

Примечательное свойство интегралов количества движения и момента количества движения состоит в том, что они не зависят от конкретного вида потенциальной энергии и существуют всякий раз, когда потенциальная энергия обладает должными свойствами инвариантности. В определенной мере поэтому предсказания, которые мы делаем на основе законов сохранения количества движения и момента количества движения, наиболее надежны. В частности, закон сохранения момента играет значительную роль в

13 Принцип Гамильтона для систем со связями