Математические модели естествознания (стр. 24 из 64)

космогонии — теории происхождения солнечной системы. Из-за большой удаленности планет от солнца момент количества движения солнечной системы огромен, и всякая космогоническая гипотеза должна этот факт объяснить. Многие космогонические гипотезы, и самая первая из них — гипотеза Лапласа, не справились с этой задачей, а потому были отвегнуты. По Лапласу, солнечная система произошла от некой быстро вращающейся жидкой массы, от экватора которой из-за центробежных сил отрывались огромные «капли», которые, застывая, превратились потом в планеты. Но ввиду закона сохранения момента, эта жидкая масса должна была бы вращаться с совершенно невероятной угловой скоростью, так что вступили бы в силу запреты теории относительности.

Другим важным свойством интегралов количества движения, момента количества движения, а также энергии, является их аддитивность. Все они получаются суммированием соответствующих величин для отдельных частиц. У механической системы нет других аддитивных интегралов. Замечу также, что в условиях общего положения, то есть для подавляющего большинства всех мыслимых механических систем вообще нет других интегралов.

13. Принцип Гамильтона для систем со связями

Во многих важных для механики случаях допустимые положения системы не могут быть произвольными точками данного многообразия, скажем, пространства Rⁿ, а обязаны удовлетворять тем или иным соотношениям, которые называются связями.

Пусть, например, положение системы определяется как точка x ∈ Rⁿ, удовлетворяющая уравнению

Φ(x) = 0, (13.1)

где Φ — заданная функция. Скажем тогда, что система подчинена голономной связи (13.1). Встречаются и случаи, когда связь зависит от времени и имеет вид

Φ(x,t) = 0. (13.2)

Связи, зависящие от времени, называются реономными (текущими). Связь вида (13.1), от времени не зависящая, называется склерономной (жесткой) или стационарной.

Уравнение (13.1) означает, что точка x(t) пространства Rⁿ, изображающая положение данной системы в момент t, остается все время на гиперповерхности, определяемой уравнением (13.1), в случае n = 3 — это просто поверхность. Когда связь реономна и имеет вид (13.2), движение происходит по гиперповерхности, изменяющейся по заданному закону со временем.

Нередко встречаются и более сложные связи вида

Φ(x,x,t˙ ) = 0, (13.3)

зависящие от скорости x˙. Такие связи называются неголономными. Впрочем, иногда уравнение вида (13.3) удается проинтегрировать по времени и привести задачу к случаю голономной связи вида (13.1) или (13.2). Дальше мы будем рассматривать лишь голономные связи, опуская иногда прилагательное «голономная».

Что может заставить частицу, движущуюся, скажем, в пространстве R³, оставаться все время на поверхности (13.1)? Очевидно, для этого нужно, чтобы на неё действовала некоторая сила, развиваемая связью. Эта сила, заранее неизвестная, называется реакцией связи.

Связь (13.1) называется идеальной, если её реакция направлена по нормали к гиперповерхности (13.1). В случае, когда уравнение (13.1) регулярно, то есть grad Φ(x) 6= 0 всюду на поверхности Φ(x) = 0, реакцию идеальной связи (13.1) можно представить в виде: −λgrad Φ, где λ — множитель Лагранжа; знак минус, конечно, не имеет серьезного значения и поставлен ради будущих удобств.

Если на частицу, движущуюся в пространстве R³, наложена идеальная связь вида (13.1), и кроме реакции связи, на нее не действуют иные силы, то согласно 2-му закону Ньютона, уравнение движения можно записать в виде

mx¨ = −λgrad Φ(x). (13.4)

Здесь m — масса частицы, x(t) — положение частицы в момент t, λ(t) — множитель Лагранжа, зависящий от времени t. Из-за присутствия новой неизвестной функции λ(t) мы должны к векторному уравнению (13.4) добавить уравнение связи (13.1). В результате получается своеобразная система уравнений, в которую входят 3 скалярных дифференциальных уравнения для компонент x₁(t), x₂(t), x₃(t), а четвертое уравнение (13.1) не содержит производных.

Наличие в системе (13.4), (13.1) уравнения связи заметно осложняет отыскание её решений. Иногда удается избавиться от связи путем введения специальных координат на поверхности (13.1). Например, если Φ(x) =

, то целесообразно ввести полярные координаты, полагая для точек данной поверхности

x₁ = acosθ, x₂ = asinθ. (13.5)

Тогда уравнение связи (13.1) будет удовлетворено тождественно, и мы сможем составить уравнение Лагранжа 2-го рода, в котором вместо неизвестных x₁, x₂, будет фигурировать одна переменная θ. Обычно так и поступают, когда это возможно. Но далеко не всегда удается ввести подходящую криволинейную систему координат с тем, чтобы исключить уравнение связи. Собственно говоря, список таких удобных координат известен и не слишком длинен — наряду с полярными, это сферические, гиперболические, эллиптические, биполярные и немногие другие координаты. Более того, даже когда нужные криволинейные координаты известны, не всегда разумно их использовать. Например, уже в случае полярных координат появляются синусы и косинусы, которые являются трансцендентными функциями. Они, конечно, хороши для аналитических выкладок, но могут существенно увеличить время вычисления на компьютере. По моему заданию одна студентка на простейшем примере кругового маятника проверила, как влияет на процесс вычисления использование тригонометрических функций. Оказалось, что время вычисления может вырасти на порядок (в 3–5–10 раз) по сравнению с иным методом, требующим лишь вычисления рациональных функций.

Вывод состоит в том, что нельзя избежать исследования систем со связями. Ситуация, понятно, еще осложняется, когда на систему наложено много связей, а то и бесконечно много. Как раз такой случай возникает при исследовании несжимаемой жидкости или гибкой нерастяжимой нити.

В случае неидеальной связи на частицу в ходе её движения действует и некоторая продольная, касательная к гиперповерхности (13.1) сила, скажем, сила трения. Строго говоря, силы трения уже и не относятся к механике, они имеют немеханическое происхождение. Впрочем, в курсах механики (если они написаны не физиками-теоретиками или примкнувшими к ним математиками) обычно имеется раздел, посвященный трению. Силы трения в природе чрезвычайно разнообразны и ещё недостаточно изучены. В курсах механики рассматриваются лишь самые простые виды трения. Исключением является курс механики И.И. Воровича [8], который опубликован уже после кончины (в 2001 г.) его автора. В этом курсе дан обширный обзор современных представлений и экспериментальных результатов по силам трения соприкасающихся твердых тел. Теория внутреннего трения в жидких телах строится в гидродинамике, а для твердых тел — в теории вязкоупругости. Более общий взгляд на процессы трения в сплошных средах развивает сравнительно новая (возникшая в середине XX века) наука реология.

Дальше будем рассматривать идеальные голономные и, ради краткости, стационарные связи вида (13.1). Вполне возможно, что рассматриваемая система подчинена целому набору связей:

Φ₁(x) = 0, ..., Φ_r(x) = 0. (13.6)

Все эти связи будем считать идеальными. Каждая связь Φ_j(x) = 0 развивает реакцию вида: −λ_j grad Φ_j(x). В итоге обобщенное уравнение 2-го закона Ньютона (когда на систему не действуют никакие другие силы, кроме реакции связи) примет вид

r

Mx¨ = −^X_λj grad Φ_j(x), (13.7)

j=1

где M — оператор масс. Наряду с x(t), множители Лагранжа λ_j также неизвестны и должны быть определены совместно с x(t) из системы (13.6),

(13.7).

Исключение связей

Будем считать, что положение системы есть точка q ∈ Rⁿ, удовлетворяющая r (скалярным) голономным, стационарным, идеальным связям

Φ₁(q) = 0, ..., Φ_r(q) = 0. (13.8)

Конфигурационное пространство X данной системы есть подмногообразие в Rⁿ, определяемое уравнениями (13.8). Конечно, нужно наложить на заданные функции Φ₁,...,Φ_r некоторые ограничения. Будем считать их достаточно гладкими (по крайней мере, класса C²), и предположим, что уравнения (13.8) совместны (так что данное подмногообразие не пусто), а функции Φ₁,...,Φ_r в каждой точке q ∈ X независимы. Последнее условие обеспечивается требованием, чтобы матрица Якоби

в каж-

дой точке q ∈ X имела максимальный ранг, равный r. Обычно это условие записывается в виде требования, чтобы один из миноров r-го порядка был отличен от нуля, например,

(13.9)

Не нужно, однако, торопиться выписывать определители. Зачастую невырожденность, обратимость матрицы лучше устанавливать непосредственно. А в случае, когда связей бесконечно много, и вовсе определители, как правило, теряют смысл (хотя и не всегда!).

Если условие (13.9) выполнено, то мы можем применить теорему о неявной функции и установить, что в некоторой окрестности каждой точки q⁰ ∈ X можно ввести новые координаты q¯₁,q¯₂,...,q¯_n, так что они взаимно однозначно выражаются через прежние:

q¯_j = Q^¯_j(q₁,...,q_n), j = 1,...,n. (13.10)

Здесь ^Q¯_j — гладкие функции. При этом часть многообразия X в окрестности точки q⁰ определяется r уравнениями