Математические модели естествознания (стр. 26 из 64)

. (14.2)

Вообще говоря, оператор M мог бы зависеть от x, как и матричные элементы m_ik. Нетрудно провести обобщение на случай M = M(x), m_ik = m_ik(x). Я, однако, предоставлю это читателю.

Будем также считать заданной потенциальную энергию V (x). Тогда лагранжиан есть L = T − V , а H = T + V — полная энергия системы.

Поскольку в данном случае лагранжиан не зависит от времени, энергия H есть интеграл. Кажется естественным поэтому написать, что L = 2T −H, и ввести «укороченное действие» или действие по Мопертюи, полагая

t2

Z

A = 2Tdt. (14.3)

t1

Множитель 2, понятно, не существенен, но удобно его сохранить. Нужно еще уточнить выбор моментов времени t₁ и t₂, что будет сделано ниже.

Пусть заданы точки x¹ и x² конфигурационного пространства H. Нас будут интересовать такие движения, то есть решения обобщенного уравнения второго закона Ньютона

Mx¨ = −grad V (x), (14.4)

которые начинаются в некоторый момент времени из положения x¹ (с не определенной заранее скоростью) и в некоторый момент времени (тоже заранее не определенный) приводят систему в положение x². Объектом исследования являются однако, не движения сами по себе, а их траектории в конфигурационном пространстве H. Точнее говоря, это проекции фазовых траекторий в H² на конфигурационное пространство H. Может быть, нелишне напомнить, что фазовая траектория в H² есть “след движущейся точки” (x(t),x˙(t)) ∈ H², а соответствующая траектория в конфигурационном пространстве — след движущейся точки x(t) ∈ H.

Будем предполагать еще, что значение интеграла энергии h фиксировано:

T + V = h (14.5)

Далее будем рассматривать гладкие кривые в конфигурационном пространстве H, соединяющие точки x¹ и x². Такая кривая есть отображение x : [θ₁,θ₂] → H : _θ 7→ x(θ). Параметр θ изменяется на отрезке [θ₁,θ₂], и при этом x(θ₁) = x¹ и x(θ₂) = x².

Представим себе, что вдоль этой кривой происходит (виртуальное) движение, причем выполняется закон сохранения энергии (14.5). Кинетическая энергия виртуального движения принимает вид

. (14.6)

Из уравнений (14.5)–(14.6) выводим равенство

. (14.7)

Рис. 4

В знаменателе стоит x⁰ = x⁰(θ(t)), штрих означает производную по θ.

Перед тем как извлекать квадратный корень, предположим, что параметр θ в виртуальном движении монотонно возрастает, так что _θ˙(t) > 0 для всех t. Тогда из (14.7) следует скалярное дифференциальное уравнение

_θ˙ = Θ(θ),

. (14.8)

Теперь перейдем в действии по Мопертюи (14.3) от интегрирования по t к интегрированию по θ. Будем считать, что θ(t₁) = θ₁, а θ(t₂) = θ₂. Заметим, что момент t₁ можно выбирать произвольно, а момент t₂ должен быть определен из условия θ(t₂) = θ₂, или x(θ(t₂)) = x². В результате интеграл (14.3) принимает вид

. (14.9)

Подведем первые итоги. Равенство (14.9) определяет функционал, заданный на кривых x : _θ 7→ x(θ) в конфигурационном пространстве H. Каждая такая кривая задана на сегменте [θ₁,θ₂]. Можно было бы даже фиксировать этот отрезок и полагать, скажем, θ₁ = 0, θ₂ = 1. Функционал A называется действием по Мопертюи в форме Якоби. При переходе от выражения (14.3) к выражению (14.9) мы еще предполагали, что параметр θ в виртуальном движении изменяется со временем монотонно. Об этом предположении пока можно забыть, как и о самих виртуальных движениях. Мы о них еще вспомним, когда пойдет речь о восстановлении полной динамики в H² (решения уравнения (14.4)) по найденной траектории в конфигурационном пространстве H.

Очевидно, для того чтобы выражение (14.9) имело смысл, на всей кривой _θ 7→ x(θ) должно быть выполнено неравенство h − V (x(θ)) ≥ 0. Отсюда, в частности, следует, что в том случае, когда x¹ — точка строгого, хотя бы локального, минимума потенциальной энергии V (x) (в этом случае x¹ — равновесие), должно быть выполнено условие h > V (x¹). Если h < V (x¹), то не существует кривых, на которых должен быть определен функционал A. Если же V (x¹) = h, то виртуальное движение не сможет выйти из точки x¹. Аналогичное условие, конечно, должно выполняться и для точки x², когда x² — равновесие: h > V (x²). Вообще же возникает довольно тонкая проблема достижимости точки x² из точки x¹ при заданной энергии h. Обсуждение этой проблемы пока что отложим; замечу лишь, что она тесно связана с теорией запаса устойчивости равновесия, развитой А.Д. Мышкисом (см. книгу [4] и имеющиеся там ссылки, а также статью [59]).

Теперь мы, наконец, готовы сформулировать принцип Мопертюи.

Принцип стационарного действия Мопертюи–Эйлера–Лагранжа–Якоби

В конфигурационном пространстве H среди всех возможных (виртуальных) траекторий с фиксированной энергией h, соединяющих две точки x¹ и x² из H, истинная траектория доставляет действию A экстремальное значение. Когда точки x¹ и x² достаточно близки, этот экстремум есть минимум.

Принцип есть принцип, и его, говоря формально, не нужно доказывать. Убедимся, однако, в том, что он вполне согласуется с принципом Гамильтона и вытекающим из него уравнением Лагранжа (14.4).

Изменим обозначение вариации с δ на ∆, чтобы подчеркнуть, что на сей раз деформация и вариация неизохронны — одним и тем же значениям параметра θ отвечают различные, вообще говоря, моменты времени в виртуальных движениях. Впрочем, в данном принципе вообще нет речи о времени. Определяется вариация ∆x как обычно. Сначала вводим деформацию xe(θ,ε) истинной траектории x(θ), причем считаем выполненными условие x(θ,0) = x(θ) для всех θ и граничные условия x_e(θ₁,ε) = x¹, _e

xe(θ₂,ε) = x². Тогда ∆x(θ) есть, по определению,

. (14.10)

Вычисляя вариацию A, получаем

. (14.11)

Разумеется, в принципе Мопертюи неявно предполагается существование виртуальных траекторий с заданной энергией h, соединяющих точки x¹ и x². Интегрирование по частям во втором слагаемом приводит к равенству

Варьирование краевых условий xe(θ₁,ε) = x¹, x_e(θ₂,ε) = x² дает равенства ∆x(θ₁) = 0, ∆x(θ₂) = 0. Поэтому внеинтегральный член в (14.12) исчезает. Согласно принципу Мопертюи, для истинной траектории ∆A = 0 и поэтому выполняется равенство

. (14.13)

Стандартное для вариационного исчисления рассуждение, которое мы уже применяли при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона, дает теперь уравнение истинной траектории в виде

grad V (x) = 0. (14.14)

Согласно терминологии вариационного исчисления, это уравнение называется уравнением Эйлера, отвечающим функционалу A. Пусть теперь x — решение уравнения движения (14.4). Предположим, что x = x(θ), θ₁ ≤ θ ≤ θ₂ — отвечающая ему траектория в конфигурационном пространстве.

Чтобы по известной траектории x(θ) восстановить движение x(t), достаточно знать закон движения θ = θ(t) вдоль траектории. Тогда x(t) определяется равенством: x(t) = x(θ(t)). Если энергия h, отвечающая данному движению x(t) задана, то θ(t) можно определить при помощи интеграла энергии (14.5). Если предположить, что параметр θ при движении возрастает, так что _θ˙(t) > 0, то для определения θ получается дифференциальное уравнение (14.8). Если в дифференциальном уравнении (14.4) сделать замену аргумента t на θ, положив x(t) = x(θ(t)), то для x(θ) получим дифференциальное уравнение