Математические модели естествознания (стр. 28 из 64)

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

, (15.1)

которое должно выполняться при x ∈ D, t ∈ R. Область D ⊂ R^m будем считать ограниченной, а ее границу ∂D — гладкой. Здесь c — положительная постоянная, а γ — неотрицательная, при γ = 0 уравнение становится линейным. Функция f(x,t) считается заданной и достаточно регулярной.

Предположим, что граница ∂D состоит из двух поверхностей S₁ и S₂, причем на S₁ поставлено краевое условие первого рода, а на S₂ — условие второго рода:

, . (15.2)

Здесь выбран довольно частный случай уравнения и краевых условий, чтобы на нем объяснить основные идеи. На самом деле, можно рассматривать гораздо более общие волновые уравнения и граничные условия, в частности, условия третьего рода, притом неоднородные.

Как известно, чтобы определить эволюцию, для уравнения второго порядка по времени нужно поставить пару начальных условий:

. (15.3)

Назовем u(x,t) перемещением, а

— скоростью, хотя в приложениях

∂t

u(x,t) может иметь совсем другой физический смысл, в частности, электродинамический: например, напряженности электрического и магнитного полей удовлетворяют волновому уравнению, обычно линейному, но, возможно, и нелинейному.

Руководствуясь аналогией с уравнением второго закона Ньютона, введем следующие функционалы, которые будем называть соответственно кинетической и потенциальной энергиями:

(15.4)

(15.5)

Первое слагаемое в (15.5) есть внутренняя потенциальная энергия среды. Второе слагаемое описывает своего рода нелинейно-упругое взаимодействие данной сплошной среды с внешней средой, такого рода слагаемые возникают, например, когда рассматривается упругое тело на упругом основании, γ — соответствующий коэффициент жесткости. Наконец, последнее слагаемое в (15.5) есть потенциальная энергия, связанная с заданной внешней силой f.

Лагранжиан L определим равенством L = T − V , а действие по Гамильтону S — равенством (t₂ > t₁, а в остальном t₁ и t₂ произвольны)

t2

Z

S = Ldt. (15.6)

t1

В более подробной записи

(15.7)

Давно пора уточнить определения конфигурационного и фазового пространств данной системы. Вопрос этот не очень прост. Ясно, конечно, что конфигурационное пространство должно состоять из функций, заданных в области D с некоторыми условиями регулярности внутри области, а также и при подходе к границе ∂D. Однако выяснение правильных ограничений на дифференциальные свойства функций u(x,t) и в данном случае, и вообще всякий раз, когда мы имеем дело с уравнениями в частных производных, — достаточно деликатное дело, и, во всяком случае, здесь нет однозначного ответа.

Для одного и того же уравнения в частных производных можно поразному выбирать конфигурационное и фазовое пространства. Первую ориентировку в этом вопросе дают нам выражения (15.4) и (15.5) для кинетической и потенциальной энергий, а также выражение (15.7) для действия S. Разумеется, нужно потребовать, чтобы все интегралы в этих выражениях сходились. Кроме того, нужно подчинить функцию u, принадлежащую конфигурационному пространству, по крайней мере, некоторым из краевых условий. На первый взгляд кажется естественным потребовать, чтобы функция u(x,t) имела все производные, входящие в дифференциальное уравнение, то есть была C²-гладкой по x, t, а кроме того, удовлетворяла краевым условиям (15.2) в классическом смысле. Оказывается, однако, что такие классические решения начально-краевой задачи (15.1) – (15.3) далеко не всегда существуют, и далеко не всегда для них можно доказать единственность.

Будем пока считать, что конфигурационное пространство есть пространство

С.Л.Соболева, состоящее из функций, имеющих первые обобщенные производные , интегрируемые с квадратом, то есть . Кроме того, предполагается, что эти функции удовлетворяют первому из краевых условий (15.2):

. (15.8)

Говоря точнее, пространство

есть замыкание множества гладких (если угодно, C^∞-гладких) функций, определенных в области D и удовлетворяющих условию (15.8) по норме, порождаемой скалярным произведением

Z

(u₁,u₂) = ∇u₁(x) · ∇u₂(x)dx. (15.9)

D

◦

Если функция

непрерывна вплоть до границы, то она удовлетворяет условию (15.8) в обычном смысле. Вообще говоря, функции из

непрерывными не являются и краевое условие (15.8) удовлетворяется лишь в некотором обобщенном смысле [40].

Функцию u(x,t) мы теперь представляем себе как вектор-функцию u(t)(x) времени t со значениями в пространстве

. Определение скалярного произведения (15.9) говорит нам, что есть гильбертово пространство. Нужно еще потребовать, чтобы функция u(x,t) для каждого фиксированного t принадлежала L₄(D); правда, при m ≤ 4 существование интеграла Z

u^m dx (15.10)

D

следует из существования интеграла ^R (∇u)² dx, согласно теореме вложе-

D

ния С.Л.Соболева.

Фазовым пространством будем считать декартово произведение

L₂(D). Элементом этого пространства является пара функций (u(x),v(x)), причем

, последнее соответствует требованию, чтобы кинетическая энергия T была конечна.

Приходится сразу признать, что дальнейший вывод волнового уравнения из принципа Гамильтона невозможно провести, строго придерживаясь сформулированных минимальных предположений о регулярности функции u. В ходе этого вывода мы будем считать ее, скажем, C^∞-гладкой, хотя достаточно C²-гладкости по x и t.

Возникающий здесь логический разлад носит принципиальный характер. Дальше я постараюсь объяснить, каким образом здесь наводится порядок. Оказывается, нужно уточнить и изменить само понятие решения уравнений в частных производных.

Внимательный читатель заметил, по-видимому, что мы «забыли» о втором краевом условии (15.2). Далее будет показано, что это условие не надо вводить заранее — оно является следствием принципа Гамильтона.

Итак, принцип Гамильтона требует, чтобы действие, определенное равенством (15.7), на истинном движении было экстремально:

δS = 0. (15.11)

Как обычно, вариация δu определяется как производная от деформации

, (15.12)

при этом деформация u˜(x,t,ε) зависит от параметра деформации ε гладко, ε изменяется в некоторой окрестности нуля. Для всех малых ε и для любого t деформация есть достаточно гладкая функция от x, t, удовлетворяющая краевому условию первого рода

. (15.13)

Кроме того, должно выполняться равенство u˜(x,t,0) = u(x,t) и, как обычно в принципе Гамильтона, должно быть выполнено «условие неподвижности концов»:

u˜(x,t₁,ε) = u(x,t₁), u˜(x,t₂,ε) = u(x,t₂) (15.14) при любом малом ε. Соответственно для вариации получаем

δu(x,t₁) = 0, δu(x,t₂) = 0. (15.15)

Замечу, что именно требование гладкости деформации как раз и вносит тот логический разлад, о котором я упоминал.

Дальше — формальные выкладки. Вычисляя вариацию, находим

t2

Z Z

δS = (u_tδu_t − c²∇u · ∇δu − γu³δu + fδu)dxdt. (15.16) t1 D

Посредством интегрирования по частям перебросим производные по t и по x_i с δu на соответствующие множители. Учитывая равенства (15.15) и краевое условие

, следующее из (15.13), преобразуем (15.16), и, подставляя полученное выражение в (15.11), придем к равенству