Математические модели естествознания (стр. 29 из 64)

Вариация δu исчезает при t = t₁ и t = t₂. Можно, однако, считать, что она исчезает и в полуокрестностях этих точек на [t₁,t₂]. Тогда она теряет зависимость от t₂, и дифференцирование по t₂ дает равенство

, (15.18)

которое должно выполняться в любой момент t (непосредственно получается в момент t₂, но он произволен).

На поверхности S₂ вариация δu не обязана удовлетворять каким-либо краевым условиям. Если, однако, рассмотреть такие вариации, которые исчезают в окрестности границы ∂D, то мы избавимся от поверхностного интеграла в (15.18):

Z

(−utt + c2∆u − γu3 + f)δudx = 0. D

(15.19)

Согласно лемме на стр. 71, из этого равенства следует, что для всех x ∈ D и t ∈ R выполняется уравнение

u_tt = c²∆u − γu³ + f(x,t). (15.20)

Теперь вернемся к равенству (15.18) для произвольных допустимых вариаций δu. В силу (15.20) объемный интеграл исчезает, и получается равенство

. (15.21)

Еще раз повторю: δu на S₂ можно выбирать произвольно, лишь бы существовала гладкая функция η(x) такая, что

. В предположении достаточной гладкости поверхности S₂ и функции , такую функцию η, называемую продолжением функции δu на границе, построить можно. Теоремы о возможности таких продолжений известны [44, 27], хотя, к сожалению, не излагаются в курсе анализа.

Если положить в (15.21)

, то получим

. (15.22)

а значит,

. Мы вывели из принципа Гамильтона краевое условие на S₂. Такие краевые условия, которые первоначально не постулируются, но получаются из условия экстремума функционала, называются в вариационном исчислении естественными.

Обобщенные решения

При выводе волнового уравнения из принципа Гамильтона мы были вынуждены наложить на (неизвестное!) решение дополнительные и ниоткуда не вытекающие ограничения гладкости. Когда речь идет о динамических системах с конечным числом степеней свободы, тоже приходится налагать подобные условия. Однако там это не носит принципиального характера, поскольку, получив решение, удается доказать, что оно и в самом деле обладает нужной гладкостью (это делается с помощью известной леммы Дюбуа–Реймона в вариационном исчислении). Когда же речь идет об уравнениях в частных производных, вопрос о гладкости решения всегда принципиален. Классическое решение — такое, для которого и уравнение, и краевые и начальные условия выполняются в обычном смысле, — далеко не всегда существует. Для уравнений гиперболического типа, каковым является волновое уравнение, проблема существования классического решения сложна в принципе, поскольку возможно, что в условиях очень гладких данных (коэффициентов уравнения, границы области, граничных и начальных функций) решение оказывается нерегулярным — его производные, а то и оно само, претерпевают разного рода разрывы.

В современной математической физике само понятие решения начальнокраевой задачи существенно изменено по сравнению с классическим. Рассматриваются различного рода обобщенные решения. Один из наиболее оправданных физических подходов к определению обобщенного решения основывается на принципе Гамильтона. Принцип Гамильтона не менее, а даже более фундаментален, чем уравнения Лагранжа второго рода. Вместе с тем, формулировка принципа Гамильтона не требует дополнительных предположений о гладкости решения, нужны лишь такие предположения о регулярности, которые обеспечивают существование интегралов, входящих в определение действия.

В рассматриваемом случае начально-краевой задачи (15.1)–(15.3) определение обобщенного решения основывается фактически на равенстве (15.11): δS = 0, причем δS выражается формулой (15.16) посредством интегрирования по частям.

По своему существу принцип Гамильтона не связан с конкретными начальными условиями и в регулярном случае является эквивалентом уравнения движения. Примем и здесь такую точку зрения, сделаем лишь некоторые непринципиальные упрощения. Во-первых, договоримся всегда выбирать t₁ = 0. Далее будем полагать t₂ = τ > 0 и интересоваться решением на отрезке времени [0,τ]. При этом мы ничего не теряем, так как τ — произвольно фиксировано, а если отрезок [t₁,t₂] содержится в [0,τ], мы получим прежнее определение, попросту выбирая δu так, чтобы δu(x,t) = 0 для всех t вне [t₁,t₂]. Наконец, вместо δu(x,t) будем для краткости писать η(x,t).

Теперь перейдем к строгому определению обобщенного решения.

Определение. Обобщенным решением начально-краевой задачи (15.1)–(15.3) на отрезке времени [0,τ] при любом положительном τ называется функция u(x,t) такая, что выполнены следующие условия:

1) Для любого t ∈ [0,τ] существуют и равномерно ограничены интегралы

Z

, (∇u(x,t))² dx ≤ C₂,

^D (15.23)

где C₁, C₂, C₃ — положительные константы.

2) Для любого t ∈ [0,τ] функция u(x,t) удовлетворяет в обобщенном смысле краевому условию

, а именно

3) (принцип Гамильтона) Выполняется интегральное равенство (тождество):

(15.24)

для любой гладкой функции η(x,t) такой, что η(x,0) = 0, η(x,τ) = 0, и выполнено краевое условие

.

4) Функция u(x,t) удовлетворяет начальным условиям в обобщенном смысле (в среднем) при t → +0

,

(15.25)

Несколько комментариев к этому определению. При выводе волнового уравнения из принципа Гамильтона мы фактически установили, что если обобщенное решение имеет непрерывные вторые производные по x и по t, то оно удовлетворяет волновому уравнению в обычном смысле. Если к тому же сама функция и ее нормальная производная допускают определение на границе ∂D посредством предельного перехода («по непрерыввности»), то и краевые условия выполняются в обычном смысле. Выходит, что функция, удовлетворяющая условиям данного определения, оказывается классическим решением начально-краевой задачи при одном лишь дополнительном условии достаточной гладкости. Именно это и дает нам право называть ее обобщенным решением.

Мы рассматривали решение u(x,t) для положительных времен. В случае t < 0 все аналогично. Более того, замена t → −t приводит этот случай к предыдущему.

Нетрудно проверить, что из предположения о конечности интегралов (15.23) следует, что все интегралы в интегральном тождестве (15.24) сходятся. Относительно заданной функции f достаточно предположить, что она «не чересчур разрывна», например, интегрируема с квадратом по x, t.

В определении мы предположили, что функция η гладкая. При помощи предельного перехода можно убедиться, что это тождество остается в силе и для широкого класса разрывных функций η. Например достаточно, чтобы

∂η ∂η

производные и имели интегрируемые по x, t квадраты.

∂t ∂x_i

Важность применения обобщенных решений уравнений в частных производных была осознана лишь в середине прошлого века. Даже когда классическое решение существует, естественным этапом исследования оказывается доказательство существования обобщенного решения. Долгая и упорная работа математиков в этой области привела к наиболее глубоким результата в теории функций и функциональном анализе. К сожалению, здесь нет места остановиться на этом более подробно. Замечу, что одна из первых работ по обобщенным решениям волновых уравнений была выполнена И.И. Воровичем [8], который рассматривал сложные задачи о колебаниях упругих оболочек.

Функциональные производные

В том случае, когда функционалы заданы на гильбертовом пространстве функций, скажем, на пространстве L₂(D), понятие градиента grad ϕ может быть существенным образом конкретизировано. Соответствующее определение строится по аналогии с понятиями дифференциала и частных производных гладкой функции f(x), x ∈ Rⁿ. Как Вам хорошо известно, главная линейная часть приращения функции, когда ее аргумент x = (x₁,...,x_n) получает приращение (dx₁,...,dx_n), есть