Математические модели естествознания (стр. 3 из 64)
В.И. Юдович. Математические модели естествознания
вания к начальному состоянию (скажем, каковы требования регулярности к начальному полю температур).
Обычно под пространством понимается множество вместе с определенным на нем тем или иным способом предельным переходом для последовательностей его элементов. Наиболее общее определение (при помощи задания системы окрестностей, называемой топологией) приводит к понятию топологического пространства. В этом курсе я не буду пользоваться столь общими пространствами. Надо сказать, что до настоящего времени общие топологические пространства мало применялись в исследовании математических моделей естественных наук (впрочем, в таких случаях всегда хочется добавить, что, быть может, потому-то и не решены некоторые из проблем, десятками, а то и сотнями лет остающихся неприступными). Как правило, достаточно рассматривать метрические пространства, и даже их специальный случай — банаховы пространства. Более того, во всех или почти во всех приложениях в физике и механике бывает достаточно считать, что фазовое пространство есть евклидово пространство, скажем, Rn со стандартным скалярным произведением или гильбертово пространство H. Впрочем, в целом ряде задач необходимо считать фазовое пространство дифференцируемым многообразием, которое является евклидовым или банаховым лишь локально.
Замечу, что всякое подмножество банахова пространства является метрическим пространством (метрика сохраняется, индуцируется). На самом деле, известно даже, что каждое метрическое пространство может быть реализовано как подмножество банахова пространства. Очевидно, каждое подмножество метрического пространства есть также метрическое пространство. С этой общностью понятия метрического пространства связана, в значительной мере, его полезность.
Нередко даже в тех случаях, когда нам нужен тот или иной результат лишь для конечномерного евклидова пространства, бывает целесообразно доказывать его для произвольного банахова или метрического пространства. Дело в том, что всякий математический факт, теорема, формула становятся особенно ясными и простыми, когда они рассматриваются в естественной степени общности. Именно так — не в самой общей форме, а в естественной степени общности, которую помогает определить развитый математический вкус. Когда он изменяет, появляются тяжеловесные и мелочные рассуждения, в которых тонут главные идеи. С другой стороны, когда ведущие идеи прояснены, вполне естественно возникают и становятся довольно очевидными дальнейшие обобщения и уточнения.
Определениединамическойсистемы. Под динамическойсистемой будем понимать пару (X,Nt) — метрическое пространство X и однопара-
Динамические системы
метрическое семейство Nt : X → X отображений пространства X в себя такое, что выполняется принцип причинности (см.(1.3))
. (1.4)Каждый раз надо особо оговорить, является ли семейство Nt группой преобразований (t ∈ R) или лишь полугруппой (t ∈ R+).
Конечно, при рассмотрении конкретной динамической системы нужно оговорить, какими свойствами регулярности по t и по x обладает однопараметрическая группа Nt (непрерывность, существование тех или иных производных, условие Липшица или Гельдера и т.д.). Интересно заметить, что групповое соотношение (1.4) само влечет определенную гладкость операторов Nt. Например, в случае, когда X — банахово пространство, а Nt для каждого t есть линейный непрерывный оператор, оказывается, что Nt зависит от t аналитически, то есть разложимо в сходящийся ряд Тейлора по степеням величины (t − t0) для любого t ∈ R.
Движением динамической системы (X,Nt), определяемым начальной точкой x0 ∈ X, назовем отображение x : t 7→ x(t) вещественной оси R (или, соответственно, полуоси R+) в пространство X, определяемое равенством
x(t) = Ntx0. (1.5)
Таким образом, движение есть последовательность состояний данной динамической системы. Хотя нередко мы слышим и говорим «функция x(t)», следует различать функцию или отображение x и ее значение x(t) при заданном t. Смешение этих понятий нередко сходит с рук, но лучше приучиться к аккуратному их употреблению, так как во многих серьезных случаях путаница между отображением и его значением может приводить к ошибкам.
Траекторией (или орбитой) данного движения x : t →7 x(t) называется множество
T = [ x(t). (1.6)
t∈R
В случае полугруппы объединение следует брать по t ∈ R+, иногда употребляется термин положительная полутраектория.
Когда я произношу слово «траектория», то представляю себе лыжню, на которой не видно лыжника. Мы видим пройденный им путь, но не знаем, в какой момент времени он был в той или другой точке траектории–лыжни. Траектория — множество состояний, пройденных данной системой в ходе
В.И. Юдович. Математические модели естественных наук
движения. Если траектория известна, то достаточно задать закон движения по ней, чтобы движение системы было полностью определено.
Нередко бывает полезным понятие графика данного движения. Это — множество точек (t,x(t)) в декартовом произведении R × X оси времени R и пространства X.
Лучше уяснить связи и различия между понятиями отображения и его значения в точке, движения и мгновенного состояния динамической системы, траектории, области значений отображения и графика отображения Вам помогут упражнения к этому параграфу.
2. Автономные дифференциальные уравнения
Главным источником динамических систем можно считать автономные дифференциальные уравнения — обыкновенные и в частных производных.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
x˙1 = f1(x1,x2,...,xn),
x˙2 = f2(x1,x2,...,xn), (2.1)
.Ее правые части не зависят явно от времени t, это и есть свойство автономности. Если при любых начальных данных x01,x02,...,x0n задача Коши для системы (2.1) с начальными условиями
x1(0) = x01, x2(0) = x02, ..., xn(0) = x0n (2.2)
имеет, и притом единственное решение x1(t),x2(t),...,xn(t), определенное для всех t ∈ R (или хотя бы всех t ≥ 0), то определен эволюционный оператор Nt : Rn → Rn, который начальной точке x0 = (x01,x02,...,x0n) ставит в соответствие значение решения x(t) = (x1(t),x2(t),...,xn(t)) в момент времени t для каждого t ∈ R. Таким образом, решение x(t) определяется равенством
x(t) = Ntx0. (2.3)
Решение дифференциального уравнения — это и есть движение определяемой им динамической системы.
Необходимо подчеркнуть, что предположение о глобальной однозначной разрешимости задачи Коши (2.1)–(2.2), которое необходимо для того,
Автономные дифференциальные уравнения
чтобы определить эволюционный оператор Nt, для каждой данной системы приходится проверять отдельно, и это зачастую оказывается нелегкой задачей. Все общие теоремы в теории дифференциальных уравнений говорят лишь о локальной разрешимости задачи Коши. Более того, можно утверждать, что глобальная разрешимость — существование решения, при любых начальных данных определенного для всех t, — является исключительным свойством системы дифференциальных уравнений. Подробнее об этом говорится в следующем разделе, здесь лишь замечу, что априорные оценки решений, которые необходимы для доказательства глобальной разрешимости, справедливы и могут быть получены лишь благодаря специальным свойствам системы. Таковыми являются основные законы физики — закон сохранения энергии, другие законы сохранения (момента, количества движения), второе начало термодинамики — закон возрастания энтропии и т.д.
Понятие эволюционного оператора весьма полезно в теории, но нам приходится с ним работать, не имея для него, как правило, никаких аналитических формул и представлений.
Заметим, что задание эволюционного оператора определяет соответствующее ему дифференциальное уравнение. Действительно, система (2.1) может быть записана как векторное дифференциальное уравнение
x˙ = F(x). (2.4)
Ее правая часть есть векторное поле на пространстве Rn, определяемое равенством
F(x) = (f1(x1,...,xn),f2(x1,...,xn),...,fn(x1,...,xn)). Начальное условие (2.2) записывается в виде
x(0) = x0. (2.5)
Если Nt : Rn → Rn есть эволюционный оператор, то решение задачи Коши (2.4)–(2.5) может быть представлено в виде (2.3). Подстановка (2.3) в (2.4) дает равенство