Математические модели естествознания (стр. 30 из 64)
. (15.26)Это равенство может служить определением частной производной
.Пусть теперь Φ : L2(D) → R — функционал на гильбертовом пространстве L2(D), где D — область в Rn. Допустимо рассматривать функционалы, заданные не на всем пространстве L2, а лишь на некотором всюду плотном линейном многообразии, дальше будем считать, что вводимые нами функции принадлежат области определения D(Φ) функционала Φ. Пусть теперь u ∈ D(Φ), и εδu — приращение функции u. Рассмотрим приращение Φ(u+εδu)−Φ(u) функционала Φ. Мы рассматриваем частный случай деформации — линейной по параметру ε. Тогда производная по ε при ε = 0 дает нам вариацию функционала Φ в точке u
. (15.27)Предположим, что эта вариация может быть представлена в виде
Z
δΦ(u) = A(x)δu(x)dx. (15.28)
D
Разумеется, функция A(x) вполне может довольно сложным образом зависеть от функции u — от всех ее значений, а не только от значения в точке x. В этом случае скажем, что A(x) есть функциональная производная функционала Φ по аргументу u(x), и введем обозначение:
. (15.29)Обычно это обозначение сокращают и пишут
. (15.30)Чтобы лучше пояснить аналогию между формулой (15.26) для df(x) и формулой (15.28) для δΦ(u), замечу, что вектор x = (x1,...,xn) можно рассматривать как функцию x(k), определенную для k ∈ {1,...,n}, при этом попросту x(k) = xk. С другой стороны, функцию u, заданную на D, можно трактовать как вектор, с бесконечным числом компонент, каждая из которых есть ux = u(x), точка x ∈ D играет роль индекса. Формула (15.28) получается из формулы (15.26) в результате замен: f → Φ, x → u,
n
f(x) → Φ(u), и далее:
. Кроме того, ко-нечно, нужно сделать замены: df(x) → δΦ(u), dxk → δu(x). Проделайте все эти замены в формуле (15.26). Получится формула (15.28).
Приведу примеры вычисления функциональной производной. Пример 1. Пусть
Z
Φ(u) = F(u(x),x)dx (15.31)
D
с гладкой функцией F. Тогда очевидно,
. (15.32)Если, например F(u,x) = ρ(x)u2m+1, m — натуральное число, то
. (15.33)Пример 2. На плотном в L2(D) множестве гладких функций, исчезающих на границе, определим функционал (интеграл Дирихле)
Z
Φ(u) = (∇u)2dx. (15.34)
D Имеем Z
δΦ(u) = 2 (∇u) · ∇δudx. (15.35)
D
Интегрируя по частям, с учетом краевого условия
, выводимZ
δΦ(u) = −2 ∆u · δudx. (15.36)
D
Следовательно,
. (15.37)Обобщенное волновое уравнение
Не стремясь довести обобщение до крайности, рассмотрим континуальную механическую систему, определенную лагранжианом
(15.38)где ρ и F — известные функции своих аргументов. Будем считать, что область D ограничена, а на ее границе поставлено условие
. (15.39)Применяя принцип Гамильтона, в предположении существования и гладкости функции u(x,t), реализующей экстремум действия, придем к равенству
. (15.40)Интегрируя по частям, с учетом краевого условия
, получаем
. (15.41)Отсюда следует уравнение движения
. (15.42)Это уравнение, применяя понятие функциональной производной, можно записать в форме, вполне аналогичной конечномерному случаю, а именно:
. (15.43)Замечу, что подобным формальным путем можно получить уравнения типа utt + ∆u = 0, для которых задача с начальными данными некорректна. Чтобы уравнение (15.43) было действительно волновым, нужно наложить определенное условие эллиптичности на функцию F.
16 Принцип Гамильтона и конечномерные аппроксимации
бесконечномерных систем 129
Упражнения
1. Выведите из принципа Гамильтона уравнение поперечных колебанийупругой оболочки utt = −c2∆2u + f(x,t),
где u = u(x1,x2,t), а точка (x1,x2) ∈ S (ограниченной области R2). На границе ∂S = Γ должны выполняться краевые условия
, 
.Эти краевые условия не являются естественными. А какие являются?
2. Докажите, что полная энергия T + V , где T и V определены формулами (15.4), (15.5), есть интеграл волнового уравнения (15.1).
16. Принцип Гамильтона и конечномерные аппроксимации бесконечномерных систем
Чтобы решить эволюционную задачу для бесконечномерной системы при помощи численных методов, ее приходится аппроксимировать конечномерными системами. Применяемые для этого методы дискретизации в основном сводятся к замене производных разностными отношениями значений функции в узлах, либо к аппроксимации решения конечными отрезками рядов Фурье по тому или иному базису. Первый подход приводит к различным сеточным методам, а второй — к методу Галеркина. Бывают полезны и различные комбинации этих двух методов. Мы рассмотрим здесь такие аппроксимации, которые сохраняют производные по времени, так что задача приводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений, иногда очень высокого порядка.
Конечно, решая численно задачу для уравнения в частных производных, нужно заботиться о хорошей аппроксимации неизвестной функции и ее производных. Однако зачастую даже более важно, чтобы аппроксимирующие системы сохраняли фундаментальные свойства исходной системы. Когда заданная система получается из принципа Гамильтона, очень важно, чтобы это свойство сохранялось и для приближенных систем. В итоге возникает очень полезная в построении численных, а также асимптотических методов идея: аппроксимировать не заданные уравнения, а лагранжиан. После этого аппроксимирующее уравнение получается из принципа Гамильтона. Я приведу здесь два простеньких примера применения этой идеи.
Разностный метод решения волновых уравнений
Рассмотрим одномерное линейное волновое уравнение
ρ(x)utt = uxx (16.1)
с краевыми условиями
. (16.2)При этом функция ρ(x) предполагается непрерывной и положительной: ρ(x) > 0 для всех x. Поставим также начальные условия:
. (16.3)Мы уже знаем, что эта задача получается из принципа Гамильтона с лагранжианом
(16.4)Будем решать начально-краевую задачу (16.1)–(16.3) методом прямых.
Разделим отрезок [0,`] на n равных частей, и пусть h
, k = 0,1,...,n. За новые неизвестные примем приближенные значения функции u(x,t) в узлах xk, так что uk(t) ∼= u(xk,t). Чтобы аппроксимировать лагранжиан (16.4), примем некоторую аппроксимацию производной ux, например, положим
. (16.5)