Математические модели естествознания (стр. 31 из 64)

Краевым условиям мы удовлетворим, полагая u₀ = 0 и u_n = 0. Выберем некоторую квадратурную формулу для аппроксимации интеграла (16.4), например, формулу прямоугольников (или трапеций). Тогда приближенный лагранжиан будет иметь вид

,

Соответствующие этому лагранжиану уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

. (16.7)

В подробной записи имеем систему

. (16.8)

Здесь не нужно суммировать по k, хотя индексы повторяются, и нужно помнить, что u₀ = 0, u_n = 0. Как видим, в правой части само собой возникло стандартное разностное отношение, аппроксимирующее вторую производную u_xx. Выходит, что эта наиболее популярная разностная схема получается из принципа Гамильтона.

Принцип Гамильтона и метод Галеркина

Метод Галеркина в его нестационарном варианте (иногда называемый также методом Галеркина – Фаэдо) особенно хорошо связан с принципом Гамильтона. На самом деле, стандартные галеркинские уравнения сохраняют свойство консервативности исходной системы и подчиняются принципу Гамильтона. Вместе с тем, применение принципа Гамильтона позволяет ускорить вывод галеркинских уравнений. Это я теперь и собираюсь продемонстрировать на примере начально-краевой задачи (15.1) – (15.3). Для упрощения разговоров давайте считать, что на всей границе ∂D области D выполнено краевое условие первого рода (S₁ = ∂D)

. (16.9)

Решение уравнения (15.1) разыскивается в виде обобщенного ряда Фурье:

∞ u(x,t) = ^X u_k(t)ϕ_k(x), (16.10)

k=1

где ϕ_k — гладкие функции, которые удовлетворяют краевому условию

и образуют полную систему в пространстве . В теории, а во многих случаях и на практике, удобно в качестве координатных функций ϕ_k выбирать собственные функции оператора Лапласа. Они определяются посредством решения спектральной краевой задачи

. (16.11)

Известно, что все собственные значения λ_k положительны, собственные

◦

функции ϕ_k образуют ортогональную систему как в L₂(D), так и в W

, и при этом λ_k → +∞ при k → +∞. Для определенности нормируем собственные функции ϕ_k в L₂(D), т.е. будем считать выполненными равенства:

Z

2

ϕ_k dx = 1, k = 1,2,... (16.12)

D

Конечно, вместе с функцией ϕ_k, также и −ϕ_k удовлетворяет этому условию. Считаем, что из этих двух функций произвольно выбрана одна. Подставив выражение (16.10) в уравнение (15.1) и приравняв коэффициенты Фурье в левой и правой частях, можно получить бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных функций u_k(t). Идея метода Галеркина состоит в том, что эта бесконечная система урезается: оставляются лишь уравнения для u₁(t),...,u_m(t), причем в этих уравнениях все высшие коэффициенты u_m+1,u_m+2,... полагаются равными нулю. Выходит, что приближенное решение имеет вид

m

u_m(x,t) = ^X u_k(t)ϕ_k(x). (16.13)

k=1

Следуя высказанной выше идее, мы должны вычислить приближенные кинетическую энергию T_m и потенциальную энергию V_m, подставляя u_m(x,t) вместо u(x,t) в (15.4) и (15.5). Затем определяется приближенный лагранжиан L_m как функция от обобщенных координат u₁,...,u_m — и пишется уравнение Лагранжа второго рода, вытекающее из принципа Гамильтона в случае лагранжиана L_m.

Дальше мы применяем свойства ортогональности системы {ϕ_k} в L₂ и

^◦ (1)

W ₂ :

Z Z

ϕ_kϕ_l dx = δ_kl, ∇ϕ_k · ∇ϕ_l dx = λ_kδ_kl, (16.14)

D D

где δ_kl — символ Кронекера. Имеем

. (16.15)

Далее получаем

(16.16)

.

Здесь известные коэффициенты c_k1k₂k₃k₄ и f_k определяются равенствами

Z

ck1k2k3k4 = ϕk1ϕk2ϕk3ϕk4 dx, D	(16.17)
Z fk(t) = f ϕk dx.	(16.18)

D ∞

При этом очевидно, что f(x,t) = ^P f_k(t)ϕ_k(x), так что f_k — коэффи-

k=1

циент Фурье функции f.

Поясню вычисление слагаемого четвертой степени в (16.16). Здесь применяется простой технический прием — представление четвертой степени суммы в виде четырехкратной суммы:

.

(16.19) Интегрируя это равенство по x, приходим к выражению для коэффициента, данному в (16.17).

Уравнения Лагранжа, отвечающие лагранжиану L_m = T_m−V_m, имеют вид

(16.20)

Учитывая выражения (16.15) и (16.16) для T_m и V_m, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

, (16.21) k = 1,2,...,m.

Если здесь взять m = ∞, то получится бесконечная система, эквивалентная исходной краевой задаче. Я предоставляю вам самостоятельно проверить, что метод Галеркина в стандартной форме приводит к той же системе (16.21).

В принципе, метод Галеркина является весьма общим, он применим и в случае неконсервативных систем — когда сила не может быть определена посредством ее потенциальной энергии (потенциальную энергию вообще невозможно определить). Впрочем, известны и соответствующие неголономные обобщения принципа Гамильтона, в которых уже нет функционала действия, но постулируются соотношения для вариаций, из которых вытекают уравнения движения.

По-видимому, использование приближенных методов типа метода Галеркина и метода сеток является самым мощным средством доказательства теорем существования и единственности решения для начально-краевых задач механики и физики сплошных сред. В частности, галеркинские уравнения типа уравнений (16.21) содержат лишь полиномиальные нелинейности, так что их правые части оказываются гладкими. Теорема единственности решения и теорема о локальной разрешимости задачи Коши для таких уравнений непосредственно следуют из классических результатов. Вместе с тем, сохраняя консервативную природу исходной задачи, эти уравнения обладают интегралом энергии, а иногда и другими интегралами. Это дает возможность во многих случаях, и в частности для системы (16.21) (см. упражнение 5), получить априорную оценку решения, а вместе с тем, и глобальную теорему существования решения задачи Коши.

Обоснование приближенного метода, скажем, метода Галеркина состоит в доказательстве сходимости последовательности приближенных решений при m → ∞. Это действительно удается сделать с использованием современных средств функционального анализа и теории функций вещественных переменных. Замечу, что во многих случаях, особенно в стационарных задачах, удается установить лишь компактность множества приближенных решений. Случается, что различные последовательности приближенных решений сходятся к различным решениям краевой задачи для уравнений в частных производных. Здесь нет ничего удивительного — многие нелинейные стационарные краевые задачи действительно допускают несколько решений. К сожалению, здесь нет места остановиться на этих увлекательных вопросах подробнее (см. [22]).

Упражнения

1. Доказать, что уравнение движения, отвечающее кинетической энергии T и потенциальной энергии V вида

имеет вид

,

где

Убедитесь в том, что в случае

это уравнение превращается в уравнение (15.1). 2. Рассмотрим волновое уравнение

utt = c2∆u

в ограниченной области D ⊂ Rⁿ с краевым условием третьего рода