Математические модели естествознания (стр. 33 из 64)

δS = (ρx˙ · δx˙ + ρg · δx)dsdt. (17.16)

t₁ 0

Преобразуя первое слагаемое посредством интегрирования по частям по t с учетом (17.11) и применяя принцип Гамильтона, приходим к соотношению

t₂ ` Z Z

(−ρx¨ + ρg) · δxdsdt = 0, (17.17)

t₁ 0

которое должно выполняться для всех вектор-функций δx(s,t), удовлетворяющих условиям (17.11), (17.14), (17.15) и, конечно, достаточно гладких.

Чтобы избавиться от мешающих двигаться дальше ограничений на вариацию δx, применим метод Лагранжа. Умножая уравнение (17.14) на новую неизвестную (пока произвольную) функцию λ = λ(s,t) (множитель Лагранжа) и интегрируя по s, t, получим

t₂ ` Z Z

λx0 · δx0 dsdt = 0. t1 0 Вычитая (17.18) из (17.17), получим

(17.18)

. (17.19)

Условие связи (17.15) пока оставляем без внимания, дальше оно будет использовано. Мы можем теперь считать, как обычно в вариационных задачах со связями, что функция λ выбрана таким образом, что равенство (17.19) выполняется для вариаций δx, которые уже не обязаны удовлетворять условию (17.14).

Учитывая, что равенство (17.19) имеет место для любых t₁ и t₂, можно убрать интеграл по t (формально дифференцируем по t₂ и учитываем, что t₂ произвольно). Таким образом, имеем

. (17.20)

Это соотношение выполняется в каждый момент времени t. Перебросим производную по s с δx⁰ на второй множитель λx⁰ в последнем слагаемом посредством интегрирования по частям. Учитывая краевое условие на левом конце (17.15), получаем

. (17.21)

Теперь мы еще раз применим идею вывода естественного краевого условия, которая была уже использована раньше в случае волнового уравнения. Сначала мы рассматриваем равенство (17.21) в том частном случае, когда δx = 0 при s = `, и показываем, что из полученного интегрального равенства уже следует уравнение движения

ρx¨ = (λx⁰)⁰ + ρg, (17.22)

которое должно выполняться для всех t и s ∈ (0,`).

Но после того, как уравнение (17.22) выведено, мы видим, что интеграл в (17.21) исчезает для любых δx. В результате имеем равенство

. (17.23)

Поскольку

можно выбирать произвольно, имеем право положить в

. В результате находим естественное краевое усло-

вие на свободном конце нити s = `:

. (17.24)

Еще раз мы убеждаемся в двойной пользе принципа Гамильтона в механике сплошной среды — он дает не только уравнения движения, но и естественные краевые условия. Последние получаются на тех частях границы области, занятой сплошной средой, где первоначально не ставятся никакие краевые условия или задан неполный набор краевых условий. Примерами могут служить свободные границы (никаких краевых условий для деформаций) или подвижные твердые границы.

Таким образом, для описания динамики нити при поставленных выше условиях мы получили уравнение (17.22) с краевыми условиями (17.24) и (17.2)). В начальный момент времени должны быть заданы положение нити и соответствующее поле скоростей:

, (17.25)

(17.26)

Заметим, что вектор-функции x₀ и v не вполне произвольны. Они должны удовлетворять условиям, вытекающим из уравнения связи

. (17.27)

Второе равенство получается дифференцированием по t при t = 0 уравнения (17.1).

Физический смысл множителя Лагранжа λ. Когда мы применяем принцип Гамильтона, физический смысл множителя Лагранжа остается в тени.

(((((((XX(

sr

Рис. 7

Рассмотрим элемент нити между точками s и s + ds (см. Рис. 7). Так как нить не сопротивляется изгибу, силы, действующие на выбранный элемент со стороны остальных частей в точках s и s + ds, касательны к нити (поперечных сил нет). Поэтому такую силу можно записать в виде λx⁰, где λ = λ(s,t) — некоторая функция. Внутренняя сила λx⁰(s + ds,t) действует на элемент нити «справа» — со стороны больших значений s. Она возникает в результате взаимодействия выбранного элемента нити с остальной частью нити. По третьему закону Ньютона слева действует сила −λx⁰, отличающаяся лишь знаком. Мы видим, что равнодействующая двух сил, растягивающих элемент нити (s,s + ds), есть (λx⁰)⁰ds — с точностью до малых высшего порядка относительно ds. Сравнивая это выражение с правой частью уравнения (17.22), заключаем, что λ есть величина растягивающего усилия в точке нити. При этом положительным λ соответствует растяжение, а отрицательным — сжатие нити. Дальше мы покажем, что λ(s,t) > 0 для всех s, t, так что нить всегда находится в растянутом состоянии в каждой своей точке.

Нить всегда растянута. Интуиция говорит нам, что нить, не сопротивляющаяся изгибу, не может выдержать сжатия. Если её всё-таки сжать, то при малейшем отклонении от строго прямолинейной формы она начнёт сильно морщиться, по ней пойдут очень короткие волны. Так как нет никаких ограничений на длину таких волн и их амплитуды, окажется, что возникнут волны сколь угодно малой длины с большими амплитудами. Это означает, что гладкость решения сильно портится — настолько, что решение вообще может быть разрушено. Все это типично для некорректных задач типа задачи теплопроводности для отрицательных времен или задачи Коши для уравнения Лапласа. Дальше мы увидим, что именно эта последняя задача, действительно, возникнет, если мы вздумаем рассматривать задачу о сжатой нити. Понятно, что описанные патологии связаны с чрезмерной идеализацией модели. Они исчезают, если учесть изгибную жесткость и/или внутреннее вязкое трение. Замечу, что в подобных ситуациях большой интерес представляет исследование асимптотического поведения решений соответствующих краевых задач (для равновесий одномерной сплошной среды), а также и начально-краевых задач для движений нити при стремлении к нулю изгибной жесткости и коэффициента трения. Те же вопросы возникают, конечно, и для многомерных сплошных сред. В настоящее время проблемы такого рода почти не изучены.

Сейчас мы в простейшем случае докажем, что нить всюду растянута. Результат, который будет получен, допускает довольно сильное расширение. Но всё-таки в самой общей ситуации, когда на нить действуют внешние силы, а концы её совершают произвольное движение, может оказаться, что она кое-где и сжата. В таких случаях приходится заключить, что модель абсолютно гибкой нити недостаточна для описания реального движения реальной нити. Следует всегда помнить, что в науке мы умеем работать лишь с моделями реальных объектов, а не с самими объектами.

Предположим, что нить двигается в невесомости (g = 0), а её левый конец фиксирован. При этих условиях уравнение движения (17.22) принимает вид

а краевые условия суть

ρx¨ = (λx0)0,

(17.28)

, (17.29)

(17.30)

По-прежнему должно выполняться условие нерастяжимости нити (17.1) x⁰² = 1. Мы докажем теперь, что λ(s,t) > 0 при всех t и s ∈ [0,`), правый конец исключен ввиду краевого условия (17.30).

Разделим уравнение (17.28) на ρ и продифференцируем его по s. В результате получится уравнение

. (17.31)

Мы намереваемся умножить это уравнение скалярно на x⁰. При этом будут полезны соотношения, получаемые из уравнения связи (17.1) двумя последовательными дифференцированиями по s:

x⁰ · x⁰⁰ = 0, x⁰ · x⁰⁰⁰ = −x⁰⁰². (17.32)

Нужна ещё и формула, получаемая из уравнения связи (17.1) двумя дифференцированиями по t:

x⁰ · x¨⁰ = −x˙⁰². (17.33)

Теперь всё готово. Умножим (17.31) скалярно на x⁰, с использованием уравнения связи (17.1) и выведенных из него соотношений (17.32) и (17.33) получаем уравнение

. (17.34)