Математические модели естествознания (стр. 34 из 64)

Это уравнение Штурма–Лиувилля относительно λ с коэффициентами, которые выражаются через производные по s от x(s,t). Заметим, что в каждый момент времени, зная x(s,t), можно определить λ(s,t) — не нужно решать задачу с начальными данными. Это общая ситуация для задач со связями.

Однако я немножко поторопился сказать, что можно определить растягивающее усилие для λ — нужны еще краевые условия. На правом конце (s = `) имеется условие (17.30). Условие на левом конце (s = 0) мы выведем из уравнения движения (17.28). Если предположить, что решение является достаточно гладким, можно использовать это уравнение и на конце s = 0. Тогда получается, что при s = 0

0 = λx⁰⁰ + _λ⁰x⁰, (17.35)

так как

в силу краевого условия (17.29) (оно выполняется для всех t, а потому его можно по t дифференцировать). Умножая (17.35) скалярно на x⁰ и применяя (17.1) и (17.32), видим, что .

Итак, уравнение Штурма–Лиувилля (17.34) следует решать при краевых условиях

, . (17.36)

Из теории краевых задач Штурма–Лиувилля следует, что решение λ(s,t) краевой задачи (17.34), (17.36) положительно при 0 ≤ s < `. Здесь существенно, что в (17.34) коэффициент при λ неположителен, равно как и свободный член. Доказательство Вы можете провести самостоятельно, усвоив идеи доказательства принципов максимума-минимума, например, по книгам [56, 57].

Жесткость систем со связями. Сейчас я собираюсь, отправляясь от примера нерастяжимой нити, обсудить явление жесткости, которое специфично для систем со связями. Я поколебался в выборе эпитета, но так и не решил, «приятное» или «неприятное» это явление, и ни на одном из них не остановился. С явлением жесткости или частичной жесткости связаны интересные следствия — как позитивные, так и негативные.

Рассмотрим нерастяжимую нить с закреплёнными концами. Соответствующие краевые условия имеют вид

(17.37)

где a и b — известные точки пространства R³. Очевидно, что при этом должно быть выполнено условие

|a − b| ≤ `, (17.38)

где ` — длина нити. Если |a − b| > `, то не существует ни одной векторфункции x(s,t), удовлетворяющей условию связи x⁰² = 1 и краевым условиям (17.37). Если же расстояние между точками a и b в точности равно `, то, очевидно, существует лишь одна такая вектор-функция, соответствующая прямолинейному положению нити между точками a и b. Нить не сможет двигаться! Это и есть явление жесткости. Более общее условие |a − b| ≤ ` назовем условием совместности связей (17.37) и x⁰² = 1 (нерастяжимость).

Понятно, что всякий раз, когда назначаются условия связей, нужно позаботиться об их совместности (непротиворечивости), не то получится, что движение невозможно, и мы ставим задачу с пустым содержанием. Если связи совместны, то всё равно может случиться, что им удовлетворяет лишь одно положение системы или некоторый дискретный набор положений, а движение все-таки невозможно.

Более интересно явление частичной жесткости. Если система имеет конечное число степеней свободы, скажем, объемлющее пространство есть Rⁿ, и наложено конечное число r связей, то в условиях невырожденности размерность k конфигурационного пространства системы есть n−r. Если же оказалось, что k < n − r, то скажем, что система частично жесткая, а величина n − r − k есть мера этой жесткости.

HH

Особенно интересен тот случай, когда и размерность объемлющего пространства, и количество связей бесконечны. В результате может получиться, что система имеет конечное число степеней свободы. Именно эта ситуация возникает в задаче о движении абсолютно твёрдого тела (например, в R³). Связи в этом случае требуют, чтобы расстояния между любыми двумя точками тела оставались неизменными в ходе движения. В результате оказывается, что конфигурационное пространство конечномерно, именно шестимерно, число степеней свободы твердого тела равно 6. Если же одна точка тела закреплена, то получается система с тремя степенями свободы. А когда закреплены две точки, то остается одна степень свободы — тело может лишь вращаться вокруг оси, проходящей через эти две (ну, конечно, различные) точки.

Кстати, именно по этой, довольно формальной причине, динамика абсолютно твердого тела попадает в курсы классической механики, а не в курсы механики сплошной среды. Дальше я собираюсь рассмотреть задачу о движении твердого тела подробнее.

Динамика нити с одним закрепленным концом. Рассмотрим абсолютно гибкую нерастяжимую нить с закрепленным левым концом, и пусть к её правому концу приложено растягивающее усилие T = Ti, см. Рис. 8. Правый конец подвижен, но ему разрешается перемещаться лишь вдоль оси x₁. Нетрудно представить себе, каким образом можно практически обеспечить изображенный на Рис. 8 способ приложения нагрузки: достаточно прикрепить к жесткому шарниру на правом конце нити еще одну нить, перебросить её через ворот и к её свободному концу подвесить груз, см. Рис. 9. Мы предположим, что все виды трения пренебрежимо малы (честнее говорить: отсутствуют, равны нулю), и что эта дополнительная нить (а может, стержень или трубка, через которую пропущена нить) остается всё время параллельной оси x₁.

5 кг

Уравнение движения можно вывести из принципа Гамильтона. Система эта натуральна, её лагранжиан L есть разность между кинетической энерe_HeHe 'j $ &%

Рис. 9

гией E_k и потенциальной энергией V :

L = E_k − V. (17.39)

В определении лагранжиана пришлось изменить обозначение, так как буква T занята — общепринято через T обозначать растягивающее усилие. В предположении, что нить однородна, и погонная масса нити ρ (она же — линейная плотность) равна единице, кинетическая энергия задается равенством

(17.40)

При этом x = x(s,t), s ∈ [0,`], t ∈ R — параметрическое уравнение положения нити в момент t, ` — её длина. Потенциальная энергия V , связанная с заданным растягивающим усилием T, имеет вид

V = −Tx1(`,t). Действие по Гамильтону определяется теперь равенством	(17.41)
t2 t2 Z Z S = Ldt = (Ek − V )dt. t1 t1 Наряду с условием нерастяжимости	(17.42)
x02(s,t) = 1,	(17.43)

к числу связей относятся также краевые условия на левом конце и два условия на правом конце нити:

. (17.44)

Еще одно условие на правом конце получится далее из самого принципа Гамильтона как естественное.

Согласно принципу Гамильтона для систем со связями δS = 0. Для деформаций уравнения связей (17.43), (17.44) должны быть выполнены, а вариация δx должна удовлетворять условиям, получающимся при варьировании равенств (17.43), (17.44)

(17.45)

. (17.46)

Равенство δS = 0, согласно (17.42), имеет вид

t2 ` t2

Z Z Z

x˙ · δxdsdt˙ + T δx₁(`,t)dt = 0. (17.47)

t1 0 t1

Как и ранее, проводим в первом слагаемом (17.47) интегрирование по частям, а затем дифференцированием по t₂ избавляемся от интеграла по времени. В результате получим соотношение

`

Z

−x¨ · δxds + Tδx₁(`,t) = 0, (17.48)

0

которое должно выполняться в каждый момент t (мы заменили t₂ на t).

Из уравнения (17.45), умножая его на множитель Лагранжа λ = λ(s,t), после интегрирования по частям получаем

. (17.49)

С учетом условий (17.46) имеем

. (17.50)

Вычитая это равенство из (17.48), получаем

. (17.51)

Применяя стандартное рассуждение, связанное с переходом к вариациям δx, исчезающим на границе, снова получаем уравнение движения нити

x¨ = (λx⁰)⁰, (17.52)

а затем, возвращаясь к произвольным вариациям, удовлетворяющим условиям (17.45) и (17.46), и учитывая, что

может быть произвольным, получаем естественное краевое условие на правом конце