Математические модели естествознания (стр. 35 из 64)
(17.53)Таким образом, уравнение движения (17.52) остается прежним. Вообще, уравнения движения, как легко понять, не меняются при переходе к новым краевым условиям. Также должно выполняться условие нерастяжимости нити (17.43), а краевые условия задаются равенствами (17.44) и (17.53).
Конечно, краевое условие (17.53) можно вывести и непосредственно, заодно лучше поняв его механический смысл. Для этого нужно разложить заданное растягивающее усилие T, см. Рис. 8, на сумму двух компонент, одна из которых ортогональна линии действия усилия — оси x1, а другая — касательна к нити и равна
в точке s = `. Ортогональная к оси x1 компонента уравновешивается реакцией связи (x2 = 0, x3 = 0 при s = `) и в дальнейшем не участвует. Касательная же к нити компонента дает растягивающее усилие λx0 на конце нити. Таким образом, должно быть выполнено равенствоλx0 = (T · x0)x0, (17.54)
что совпадает с (17.53).
Присмотримся к краевому условию (17.53). Из него следует не слишком приятный вывод: продольное усилие λ при s = ` оказывается бесконечно большим, если
в некоторый момент t. Равенство 
означает, что нить в точке s = ` ортогональна к оси x1. Реакция связи (17.44) (x2 = 0, x3 = 0), если она идеальна, тоже ортогональна оси x1. Выходит, что растягивающее усилие T, действующее вдоль оси x1, ничем не уравновешено. Мы пришли к парадоксальному выводу. Что же происходит на самом деле? Во-первых, ясно, что наша модель уже не может описать поведение реальной системы при t > t0, если в момент t = t0 оказалось, что 
. Как бы ни была мала масса той конструкции на Рис. 9 («держалки») и самой нити, именно она определяет движение нити в момент времени сразу после t = t0. Построенная нами модель сама заявляет о своей несостоятельности и требует включить дополнительную информацию. Нетрудно показать (попытайтесь!), что с учетом массы «держалки» краевое условие (17.53) при s = ` должно быть заменено более общим:
. (17.55)Здесь m — масса «держалки», а уравнение (17.55) получается применением II-го закона Ньютона; массой нити мы по-прежнему пренебрегаем, считая, что она «много меньше» (так обычно говорят, хотя точнее было бы сказать «во много раз меньше»). Подробнее о задачах с краевыми условиями типа (17.55) рассказано в работе [54].
Было бы «математической глупостью», применяя нашу модель на практике, совсем забыть о той компоненте усилия T, которая уравновешивается реакцией связи. Если она оказывается слишком большой, то связь может разорваться, и условия применимости нашей модели будут наруше-
ны. А потому докажите, что эта реакция равна вектору
. 
Его абсолютная величина есть 
. Она обращается в ноль, когда 
при s = ` (нить касается оси x1 в точке s = `), и стремится кбесконечности при
(нить ортогональна к оси x1 при s = `).Подведем итог. В условиях, соответствующих Рис. 8, уравнение движения нити и условие её нерастяжимости имеют вид
| x¨ = (λx0)0, | (17.56) |
| x02 = 1. | (17.57) |
Соответствующие краевые условия суть
(17.58)(17.59)
Напомню, что третье краевое условие (17.59) выполняется лишь в предположении, что
для всего интервала времени t, на котором рассматривается движение нити. Если же оно нарушается, придется перейти к более общему краевому условию типа (17.55).Начальные условия состоят в задании положения нити и поля скоростей составляющих её точек при t = 0:
. (17.60)Как всегда при наличии связей, начальные данные должны быть с ними согласованы. Начальное положение x0 должно удовлетворять условию нерастяжимости нити (17.57) и краевым условиям (17.58) вместе с первыми двумя условиями (17.59):
(17.61). (17.62)
Начальное поле скоростей должно быть подчинено условиям, получаемым дифференцированием уравнений связи по t при t = 0:
(17.63). (17.64)
18. Уравнение колебаний струны
Удивительное дело — едва ли не во всех распространенных учебниках по математической физике уравнение поперечных колебаний струны выводится некорректно — и с физической, и с математической точки зрения. Некоторым исключением является лишь классическая книга Р. Куранта и Д. Гильберта [18].
Линейное уравнение струны описывает малые, а точнее говоря, бесконечно малые колебания около её прямолинейной формы равновесия. Обычно вне обсуждения остается вопрос о законности перехода от более точных нелинейных уравнений к линеаризованным. Для уравнений гиперболического типа, описывающих волновые процессы, эта проблема все ещё составляет немалую трудность. К тому же, в механике и в математической физике нередко случается, что истинные нелинейные уравнения вообще выпадают из поля зрения, не выписываются явно, и остается неясным, какую,
собственно говоря, задачу мы решаем приближенно, переходя к линейным уравнениям. Сама проблема исследования взаимосвязи между решениями нелинейных и соответствующих им линеаризованных уравнений «заметается под ковер». Случается, что к линейному уравнению струны дописываются довольно произвольно нелинейные слагаемые, и такие уравнения называются уравнениями нелинейной струны (пример: utt − uxx + u3 = 0). Разумеется, подобные уравнения бывают очень интересными, описывают разнообразные волновые процессы, служат хорошими моделями, помогающими понять роль нелинейности в проблеме распространения волн. И всё-таки можно довольно уверенно предположить, что не искусственно составляемые уравнения, а фундаментальные модели, выводимые из «первых принципов» (таких, как закон сохранения энергии, закон возрастания энтропии в замкнутой системе, принцип Гамильтона), лучше описывают явления реального мира и оказываются проще для исследования. В истории науки не раз бывало, что модели, составленные по принципу их (кажущейся на первый взгляд!) простоты, на деле оказываются как раз наиболее сложными, вырожденными и трудно поддающимися анализу. Я говорю это как некоторое оправдание рассмотренной дальше, внешне довольно сложной системы уравнений абсолютно гибкой нити, которая при линеаризации и порождает уравнение струны. Проблема обоснования законности линеаризации здесь отнюдь не проста и на сегодняшний день остается открытой.
Дальше мы увидим, что уравнение струны получается как уравнение малых колебаний нити, растягиваемой продольной силой, около её прямолинейного положения равновесия. Определенная тонкость постановки этой задачи связана с необходимостью как-то обойти эффект жесткости связи. Имеются разные способы снятия жесткости. Можно было бы рассмотреть растяжимую нить, отказавшись вовсе от условия связи (довольно интересно проделать это подробно). Оставаясь в рамках механики систем со связями, интересно (и идейно) рассмотреть минимальное ослабление связей, допустив подвижность одного из концов нити и сохранив условие её нерастяжимости. По этому пути мы теперь и пойдем. Еще один вариант вывода уравнения струны возникает, когда рассматривается нить переменной длины — скажем, длинная нитка, у которой один конец закреплен, пропущена через игольное ушко и растягивается заданной силой, а мы следим за событиями лишь по одну сторону от игольного ушка. К этой задаче я надеюсь вернуться позднее.
Прямолинейное равновесие нити и его возмущения. Довольно очевидно, что система уравнений и краевых условий (17.56)–(17.59) допускает решение, не зависящее от времени и отвечающее прямолинейной форме равновесия нити:
x¯1 = s, x¯2 = 0, x¯3 = 0, λ¯ = T. (18.1)
Первые три соотношения говорят, что нить располагается вдоль оси x1 — линии действия силы T. Величина λ¯ после этого определяется из уравнения
(17.56).
Для произвольного решения (x,λ) положим
x = ¯x + u, λ = λ¯ + µ, (18.2)
где x¯ = (s,0,0) = si (i — координатный орт оси x1), λ¯ = T. Векторфункция u(s,t) называется возмущением формы равновесия x¯, а функция µ(s,t) — возмущением продольного усилия λ¯ = T.
Подставляя выражения (18.2) в уравнения и краевые условия (17.56)–