Математические модели естествознания (стр. 36 из 64)

(17.59), получим нелинейную систему для возмущений u, µ

u¨ = (Tu⁰ + µi + µu⁰)⁰, (18.3)

(18.4)

(18.5)

, µ

Характерной чертой уравнений возмущений является наличие тривиального решения, в данном случае это u = 0, µ = 0. Действительно, когда возмущения исчезают, мы возвращаемся к известному решению — равновесию

(18.1).

Вывод уравнения колебаний струны. Линеаризуем систему (18.3)–

(18.6). Это значит — в каждом из этих уравнений оставим лишь линейные

⁰, u⁰2 и т.п. члены, а чисто нелинейные относительно µ и u, например, µu отбросим. В результате придём к линеаризованной системе

(18.7)

(18.8)

(18.9)

, µ

. (18.10)

Разумеется, уравнения, которые были линейными и однородными, остались без изменения.

Как видим, переход от нелинейнных уравнений к линеаризованным — довольно грубая операция. При использовании линеаризованных уравнений можно надеяться лишь на описание движений, достаточно близких к основному режиму. Когда речь идет об уравнениях в частных производных, неизбежно встает вопрос и о том, в каком смысле понимается близость решений полной системы и линеаризованной. Например, отбрасывая в (18.4) слагаемое u⁰² и переходя к (18.8), приходится предполагать, что не просто возмущение u, но и его производная достаточно малы. Нелегко определить, что значит «достаточно». Когда математики произносят такие слова, то это означает лишь, что существует или должна существовать такая положительная константа η > 0, что при условии |u⁰| < η известна некоторая хорошая оценка разности между решениями двух систем. Даже когда теория установила, что такая константа η существует, обычно бывает непросто получить для неё хорошие оценки. В конце концов, как правило, приходится прибегать к численному или натурному эксперименту.

Замечу еще, что во многих случаях никак нельзя ожидать, что решения полной нелинейной задачи остаются близкими неограниченно долго. Мы можем потребовать, чтобы возмущения были малы в начальный момент. Если окажется, что соответствующее решение линеаризованной системы неограниченно возрастает со временем, то очевидно, что исходное предположение о малости отброшенных слагаемых нарушается. При этом, во многих случаях удается строго доказать — для обыкновенных дифференциальных уравнений это сделал А.М. Ляпунов, — что подобное поведение решений линеаризованной системы означает неустойчивость основного решения полной системы.

Результаты Ляпунова о законности линеаризации в проблеме устойчивости перенесены и на некоторые классы бесконечномерных задач, см. [11], [58]. Однако в рассматриваемой нами сейчас проблеме, как и во многих других аналогичных проблемах о нелинейных колебаниях, вопрос о законности линеаризации до сих пор не рассмотрен. Тем более замечательно, что многие выводы, вытекающие из анализа уравнения колебаний струны, прекрасно подтверждаются опытом. Тут даже хочется чуть-чуть пофилософствовать и спросить, не относится ли это вообще ко всем математическим проблемам естествознания. Ведь каждый раз при построении математической модели приходится пренебрегать столь многими факторами, что совпадение теоретических выводов с экспериментом выглядит просто как чудо. Быть может, самое сильное переживание исследователя — видеть, как экспериментальные точки ложатся на теоретический график (или точки, рассчитанные по теории, ложатся на экспериментальный график).

Вернемся, однако, к системе (18.7)–(18.10). Из (18.8) следует, что u₁ не зависит от s, а тогда, согласно краевому условию (18.9), u₁ ≡ 0. С учетом этого факта векторное уравнение движения (18.7) в координатной форме примет вид

,	(18.11)
u¨2 = Tu002, u¨3 = Tu003.	(18.12) (18.13)

Из (18.11) и краевого условия (18.10) следует, что µ = 0, так что в принятом приближении сила натяжения нити остается равной T. Уравнения (18.12) и (18.13) имеют одну и ту же форму — это уравнение поперечных колебаний струны. Мы его запишем в виде

u¨ = c²u⁰⁰, (18.14)

где c² — квадрат скорости распространения поперечных волн

. (18.15)

Раньше мы принимали погонную массу нити ρ (она еще называется линейной плотностью) равной единице. Вообще, она появляется как множитель в левой части уравнений (18.12), (18.13), откуда и получается выражение (18.15). Глядя на эту формулу, особенно ясно, что упругость нити тут не при чем, странно, что этого не заметили авторы многих учебников.

Предыдущий вывод дал также краевые условия для уравнения струны (18.14), см. (18.9), (18.10): u₂ и u₃ должны исчезать на концах. Опуская индексы, запишем эти условия первого рода для уравнения (18.14):

. (18.16)

Другие краевые условия. Помимо условий первого рода (18.16), для уравнений струны часто используются также краевые условия второго и третьего рода. Они соответствуют иным способам закрепления подвижного правого конца нити.

Пусть на правый конец нити действует внешняя сила с известной потенциальной энергией ϕ(x(`)). Например, можно себе представить, что нить прикреплена к подвижному шарниру на твердой подставке, а последняя приделана к подвижной платформе, но не жестко, а при помощи упругих пружин, см. Рис. 10.

HH

Рис. 10

В этом случае краевое условие при s = ` примет вид

grad . (18.17)

Предположим, что потенциальная энергия ϕ такова, что нелинейная система уравнений движения нити допускает равновесие (18.1): x¯₁ = s, x¯₂ = 0, x¯₃ = 0, _λ^¯ = T. Это налагает на функцию ϕ ограничения ϕ_x1(`,0,0) = −T, ϕ<sub>x2</sub>(`,0,0) = 0, ϕ_x3(`,0,0) = 0. (18.18)

Поворотом осей x₂, x₃ можно добиться исчезновения слагаемого с x₂x₃ в выражении потенциальной энергии (привести квадратичную форму от x₂, x₃ к главным осям). При таком выборе осей x₂, x₃ разложение Тейлора функции ϕ в точке (`,0,0) принимает вид

(18.19)

Здесь опущены члены степени 3 и выше.

Переходя к возмущениям равновесия (18.1), т.е. полагая x(s,t) = ¯x + u(s,t), λ(s,t) = T +µ(s,t), запишем краевое условие (18.17) при s = ` в виде

(T + µ)(i + u⁰) = −grad ϕ(` + u₁,u₂,u₃). (18.20)

Здесь через u_k обозначено u_k(`,t), k = 1, 2, 3. В координатах имеем соотношения

(T + µ)(1 + u⁰₁) = −ϕ_x1(` + u₁,u₂,u₃),

(T + µ)u⁰₂ = −ϕ_x2(` + u<sub>1</sub>,u<sub>2</sub>,u<sub>3</sub>), (18.21) (T + µ)u<sup>0</sup><sub>3</sub> = −ϕ<sub>x3</sub>(` + u₁,u₂,u₃).

Правые части вычисляем при помощи равенства (18.19). Имеем

ϕ_x1(` + u₁,u₂,u₃) = −T + k₁u₁ − q₂u₂ − q₃u₃,

ϕ_x2(` + u<sub>1</sub>,u<sub>2</sub>,u<sub>3</sub>) = k<sub>2</sub>u<sub>2</sub> − q<sub>2</sub>u<sub>1</sub>, (18.22) ϕx3(` + u1,u2,u3) = k3u3 − q3u1.

Линеаризация соотношений (18.21) дает краевые условия для струны

Tu01 + µ = −k1u1 + q2u2 + q3u3,

Tu⁰₂ = −k₂u₂ + q₂u₁, (18.23)

Tu03 = −k3u3 + q3u1.

Линеаризация условия нерастяжимости на равновесии (18.1) дает по-прежнему равенство

, что вместе с краевым условием (18.16) приводит к u₁(s,t) = 0. Уравнения (18.23) поэтому записываются в виде

µ = q₂u₂ + q₃u₃,

Tu⁰₂ = −k₂u₂, (18.24)

Tu03 = −k3u3.

Как и раньше, первое условие служит для определения величины µ, а остальные два дают краевые условия при s = ` для уравнений струны. При k₂ 6= 0 и k₃ 6= 0 — это условия 3-го рода, которые, опуская индексы, можно записать в виде

u⁰(`,t) = −βu(`,t),

. (18.25)

Нетрудно понять, что величины k₂ и k₃ суть не что иное как жесткости упругих элементов (пружин), удерживающих точку опоры правого конца нити s = ` вблизи оси x₁. Таким образом, условия 3-го рода соответствуют упругому закреплению конца нити около линии действия растяжения. Когда нить очень сильно натянута (в пределе T → ∞), или когда жесткость пружины очень мала (k → 0), то есть при β = 0 условие (18.25) — второго рода.