Математические модели естествознания (стр. 37 из 64)

Неоднородная нить и неоднородная струна. Если линейная плотность нити ρ = ρ(s) не постоянна, то ее кинетическая энергия принимает вид

(18.26)

и уравнение движения есть
ρ(s)x¨ = (λx0)0.	(18.27)

Некорректность задачи о сжатой нити. Выше мы предполагали, что нить растягивается внешней нагрузкой и T > 0. Однако ничто не мешает, как-будто, проделать все предыдущие выводы и при T < 0 — когда внешняя сила сжимает нить. В результате, однако, вместо гиперболического уравнения струны получается (пусть линейная плотность ρ = const) уравнение эллиптического типа

, (18.28)

которое несущественно отличается от уравнения Лапласа (а при k = 1) совпадает. Хорошо известно (см., например, [28]), что задача Коши для уравнения (18.28) некорректна. Решение при начальных условиях

(18.29)

даже для C^∞-гладких функций u₀(s), v₀(s), как правило, не существует, а если и существует, то малейшее начальное возмущение чрезвычайно быстро возрастает по времени и за конечное время уходит на бесконечность. Это показывает, что сжатая нить ужасающе неустойчива.

Снова модель заявляет нам о своей неадекватности. На сей раз к корректной задаче можно прийти, если учесть сопротивление реальной нити изгибу. Это соответствует добавлению потенциальной энергии, зависящей от кривизны κ = x⁰⁰, точнее, от ее квадрата:

(18.30)

с заданной функцией f. В простейшем варианте полагают

, D > 0. В итоге получается модель несжимаемого стержня (балки).

Было бы очень интересно рассмотреть динамику балки при очень малой изгибной жесткости D и понять, возможно ли, и в каком смысле, осуществить предельный переход при D → 0. Я ожидаю, что лишь привлечение методов теории вероятности поможет описать эту весьма сложную динамику, не поддающуюся детерминированному анализу.

О необходимом числе краевых условий и практическом значении теоремединственности. Постановка краевых условий на подвижном конце нити — непростое дело, в особенности, если мы хотим не только получить корректную математическую модель, а намереваемся описать реальную ситуацию — скажем, колебания струн гитары и скрипки или электрического провода между двумя столбами. Разумеется, те схемы закрепления подвижного конца нити, которые изображены на Рис. 8–10, не следует понимать слишком буквально, они приведены лишь для иллюстрации. Например, пружинки просто означают, что в точке опоры действует упругая сила, которая стремится возвратить конец нити в его равновесное положение. Эта сила зависит только от величины отклонения — линейно (по Гуку) или нелинейно.

Дальше я еще собираюсь обсудить иной вариант закрепления и рассмотреть «нить, продетую сквозь игольное ушко» или тонкую трубку. Принципиальное отличие этого способа закрепления от всех предыдущих состоит в том, что на сей раз длину нити нельзя считать фиксированной, потому что мы держим под наблюдением лишь её часть. В итоге задача попадает в тот разряд моделей, которые описывают системы с переменным составом частиц. Аналогичные проблемы возникают в гидродинамике, когда изучается движение жидкости в некоторой известной области, граница которой или, по крайней мере, её часть проницаема для жидкости. В результате частицы жидкости могут входить в область извне и уходить из неё. Принцип Гамильтона неприменим к системам с переменным составом материальных частиц.

Обсудим парадоксальное различие между краевым условием (17.24) на свободном конце нити (

) и краевым условием (17.59) в случае, когда нить растягивается ( при s = `).

Почему в случае растяжения (T > 0) необходимо три краевых условия, а если его нет (T = 0), то достаточно одного? А может быть, и на свободном конце нужны дополнительные условия?

Такого рода сомнения разрешает лишь теорема единственности решения начально-краевой задачи. Если при поставленных условиях её удается доказать, то это, безусловно, означает, что никаких иных условий ставить не нужно. Замечу, что теорема существования, напротив показывает, что поставленные условия непротиворечивы, нет лишних условий, которые следовало бы отбросить.

Доказательства теорем единственности и теорем существования решения различных начально-краевых задач для нити технически довольно сложны, а глобальные теоремы существования вообще неизвестны.

Здесь я ограничусь простейшим случаем, когда в начальный момент нить неподвижна, а её форма может быть произвольной. Итак, рассмотрим случай начальных условий

, (18.31)

для всех s ∈ [0,`]. Краевые условия соответствуют закреплённому левому концу и свободному правому

, . (18.32)

Докажем, что уравнениедвижениянитиx¨ = (λx⁰)⁰,подчинённойтребованию нерастяжимости x⁰² = 1 и условиям (18.31), (18.32), имеет единственное решение x(s,t) = x⁰(s), λ(s,t) = 0.

Доказательство. Умножив уравнение движения (17.52) на x˙ и интегрируя по s, выводим

(18.33)

Внеинтегральные члены обращаются в ноль в силу краевых условий (18.32);

так как

, также и . Дифференцируя по t уравнение связи x⁰² = 1, получаем равенство

x⁰ · x˙⁰ = 0, (18.34)

из которого следует, что интеграл в правой части (18.33) также равен нулю. Таким образом,

. (18.35)

Из этого равенства и начального условия (18.32), следует, что x˙ ≡ 0. Выходит, что x(s,t) = x(s), а от t не зависит. Поэтому x(s,t) = x(s,0) = x⁰(s) для всех t и s, ввиду начального условия (18.31). Наше утверждение, таким образом, доказано.

Разумеется, «физически очевидно», что нить, на которую не действуют никакие силы, вечно остается в покое при любой её начальной форме (начальное поле скоростей — нулевое). Математик, однако, обязан подобные утверждения проверять, исходя из построенной модели, что хотя бы в какой-то мере подтверждает ее правильность. Физики, часто выступая против «теорем существования» (я поставил кавычки, потому что они обычно имеют в виду вообще чрезмерно педантичные обоснования, и нередко в этом бывают правы), обычно признают полезность теорем единственности. Когда некоторое решение удается получить, приятно знать, что нет других решений. Тут все согласны. Впрочем, фон Карман утверждал, что физики обычно пишут правильные дифференциальные уравнения движения, но никогда не пишут правильно краевые условия.

19. Специальная теория относительности Эйнштейна

Теория относительности хорошо изложена во многих книгах — см. «Теория поля» Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [21], «Теория относительности» Вольфганга Паули [34]. Последний труд был написан 20-летним студентом, был очень высоко оценен, попал в физическую энциклопедию и до сих пор является одним из лучших обзоров раннего периода развития этой теории. А всё-таки я рекомендую начать с чтения работы самого А. Эйнштейна «К электродинамике движущихся сред», она сейчас легко доступна [52].

В основе теории Эйнштейна лежат два постулата.

1. Постулат относительности. Постулируется существование трехпараметрического семейства систем отчета, называемых инерциальными, в которых все законы природы «выглядят одинаково». Все эти системы движутся друг относительно друга поступательно с постоянной скоростью (3 параметра — три компоненты этой скорости).

Этот постулат далее конкретизируется посредством указания преобразований перехода от одной системы отсчета к другой. Таковыми оказываются преобразования Лоренца. Эйнштейн понял, что электромагнитное поле столь тесно связано с пространством и временем, что его свойства инвариантности суть не что иное, как свойства инвариантности пространства и времени.

2. Постулат постоянства скорости света. Во всех инерциальных системах отсчета скорость света c в вакууме одна и та же и равна (с хорошей