Математические модели естествознания (стр. 38 из 64)

точностью) 3 · 10¹⁰ см/сек. Более точное значение: c = 2.99792 · 10¹⁰ см/сек.

Этот постулат кажется особенно поразительным, поскольку мы уж очень привыкли к галилееву правилу сложения скоростей. Его «экспериментальное обоснование» парадоксально и состоит, по Эйнштейну, в том, что никто не наблюдал стоячих электромагнитных волн. А если бы выполнялись обычные правила Галилея, то, как кажется, электромагнитные волны в надлежащей движущейся системе координат остановились бы.

Сейчас уже почти забыт замечательный популяризатор науки, особенно астрономии, Камилл Фламмарион. Возможно, он вообще был первым популяризатором, автором–изобретателем жанра. Иногда он немного отклонялся от популяризации в сторону фантастики. В одной его книге космический путешественник летит в космическом корабле со скоростью, большей скорости света и наблюдает события на Земле в обратном порядке. Убитый Цезарь поднимается, Брут и Кассий разбегаются от него, прячут ножи, и т. д. Скоро мы увидим, что движение со сверхсветовой скоростью невозможно. Интересно заметить, что и другое экспериментальное обоснование специальной теории относительности столь же парадоксально и состоит в том, что попытки обнаружить так называемый эфирный ветер, «обдувающий» Землю, привели к отрицательному результату. Эфир — гипотетическая среда, заполняющая все пространство, колебания которой и представляют собой электромагнитные волны. Примечательно, что целью Майкельсона, который в течение десятилетий проводил все более точные эксперименты, было как раз обнаружение эфира. Эксперименты, однако, привели к выводу, что эфир не существует. Казалось бы, логика развития науки такова, что, основываясь на результатах опытов Майкельсона (а также Майкельсона-Морли и ряда других, аналогичных), Эйнштейн и вывел свой постулат. Нередко так логично и излагают эту историю в книгах. Однако сам Эйнштейн утверждал, что до публикации его знаменитой статьи он ничего не слышал об опытах Майкельсона. Мне лично кажется, что соображение об отсутствии стоячих электромагнитных волн — посильнее любых конкретных экспериментальных результатов. Поражает также положенное в основу работы Эйнштейна убеждение физика, что электромагнитное поле столь интимно связано с пространством и временем, что его свойства, собственно говоря, и есть свойства пространства и времени.

Возвращаясь от общей философии к делу, посмотрим, какие следствия вытекают из 2-го постулата. Представим себе, что зафиксирована некоторая инерциальная система отсчета (декартова система координат x₁, x₂, x₃ и время t). Замечу, что возможность пользоваться единой для всего пространства декартовой системой координат характерна (постулируется) для специальной теории относительности. В общей теории относительности, называемой также теорией гравитации, приходится рассматривать неевклидово пространство, обладающее кривизной.

Теперь введем подвижную систему координат

и соответствующее ей время t⁰. Предположим, что в начальный момент времени t = 0 обе системы координат совпадают. Будем предполагать, что "штрихованная" система координат движется с постоянной скоростью v в направлении оси x₃. (Поостережемся, однако, использовать формулу — в теории относительности она неверна!).

Теперь представим себе, что в начальный момент времени t = 0 (при этом и t⁰ = 0) в общем начале координат двух систем вспыхнула лампочка, возник источник электромагнитной волны. В исходной системе координат её фронт (множество точек, до которых в момент времени t дошла волна) задаётся уравнением

. (19.1)

Это сфера радиуса ct, где c — скорость света.

Но в подвижной системе координат уравнение этой поверхности, согласно двум постулатам, можно записать в аналогичной форме

. (19.2)

Замечу, что с точки зрения подвижной системы координат свет достигает границы сферы (19.1) неодновременно. Изменяется наш взгляд на природу времени. События, которые происходят одновременно в некоторой системе отсчета оказываются не одновременными в другой, движущейся относительно первой системе отсчета. одновременность событий относительна.

Эйнштейн предположил, что между старыми и новыми координатами имеется линейная зависимость (это можно доказать при помощи теоремы Мазура-Улама, см. Приложение 2). После линейной замены квадратичная форма (19.2) перейдет в квадратичную форму от x₁, x₂, x₃, t. Чтобы при этом сфера (19.2) перешла в сферу (19.1), необходимо и достаточно выполнение соотношения

. (19.3)

Фронт волны есть физическая реальность, а системы координат мы вводим сами. В (19.3) κ = κ(v) может зависеть лишь от v. Но "неподвижная" система координат x₁, x₂, x₃ двигается относительно подвижной системы координат

со скоростью −v, поэтому должно выполняться также

равенство

. (19.4)

Сравнение этих двух равенств дает соотношение

κ(v)κ(−v) = 1. (19.5)

В специальной теории относительности сохраняются постулаты об однородности и изотропности пространства. Изотропность, независимость свойств пространства от направления движения, влечет равенство κ(v) = κ(−v). Тогда из (19.5) следует, что κ²(v) = 1. Отсюда κ(v) = ±1. Знак минус следует отбросить, потому что при v = 0 мы должны, очевидно, иметь κ(0) = 1. Если еще предположить, что κ(v) непрерывно зависит от v (физики обычно считают ниже своего достоинства упоминать о таких математических «мелочах» — до тех пор, пока не произойдут большие неприятности из-за разрывов), получается, что κ(v) = 1 для всех v. Выходит, что координаты и время в двух рассматриваемых системах отсчета должны быть связаны соотношением

. (19.6)

Связь между координатами и временем в двух системах отсчета разыскиваем теперь в виде x01 = x1 x02 = x2

x0₃ = _αx₃ + _βt (19.7) t⁰ = γx₃ + δt.

Константы α, β, γ, δ (зависящие от v) находятся из условия (19.6). Искомое преобразование представляет собой известное преобразование Лоренца:

(19.8)

,

где ε = v/c. К этим же формулам можно придти, разыскивая преобразования, относительно которых инвариантно волновое уравнение. Когда скорость движения v мала по отношению к скорости света, то есть в пределе _ε → 0, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея

(19.9)

Как видим, с математической точки зрения вывод соотношений (19.8) весьма прост. Однако физические выводы поразительны. Оказывается, время не абсолютно, в чем был уверен Ньютон, а зависит от движения выбранной системы отсчета.

Раньше мы уже установили, что замена преобразований Галилея на преобразования Лоренца приводит к изменению закона сложения скоростей. Например, рассмотрим еще одну систему координат, которая движется также в направлении оси x₃ с постоянной скоростью u по отношению к подвижной системе координат. Тогда её скорость w по отношению к неподвижной системе координат оказывается равной не v + u (как получилось бы согласно преобразованиям Галилея), а определяется равенством

. (19.10)

Сокращение длин и отрезков времени. Еще до развития теории относительности Х. Лоренц и Дж. Фицджеральд для объяснения результатов некоторых экспериментов ввели предположение о сокращении длины тел в направлении их движения. Сначала казалось, что эффект Лоренца– Фицджеральда является динамическим, и сокращение длин происходит под действием некоторых неизвестных нам сил, скажем, сопротивления эфира движению тел. Возникала несколько смутная аналогия с движением тел в воздухе или воде. Быть может, главное достижение А. Эйнштейна (так считают многие физики) состоит в том, что он понял кинематический характер всех основных релятивистских эффектов — просто (просто!) так устроены пространство и время.

Теперь посмотрим, как непринужденно теория относительности объясняет эффект Лоренца–Фицджеральда, а заодно предсказывает еще более поразительный эффект сокращения отрезков времени. Ход времени зависит от движения тел! Время течет по-разному в движущемся поступательно с постоянной скоростью корабле и на «неподвижном» берегу. Это нелегко было усвоить современникам.

Итак, представим себе, что в фиксированной («неподвижной») системе координат имеется стержень, длины `, расположенный вдоль оси x₃ между r r r PP

z1 z2 z3

Рис. 11

точками z₁ и z₂, так что z₂ − z₁ = `. Если теперь измерить длину этого стержня в подвижной (штрихованной) системе координат в момент t⁰, то получим