Математические модели естествознания (стр. 39 из 64)

, . (19.11)

Обозначим через

длину стержня в подвижной системе координат. Вычитая формулы (19.11) одну из другой, придем к равенству

. (19.12)

Получается, что длина ` в неподвижной системе координат больше, чем длина стержня в движущейся системе. Аналогично воспользуемся связью между моментами времени

. Имеем

. (19.13)

Далее получаем соотношения между отрезком времени t₂ − t₁ и соответствующим отрезком времени

в движущейся системе координат

. (19.14)

Эта простая формула влечет следствия, которые с большим трудом укладываются в сознание. Вы, наверное, слышали о так называемом парадоксе близнецов.

Представим себе, что один из двух близнецов садится в космический корабль и путешествует на нем со скоростью, достаточно близкой к скорости света. Потом он возвращается на Землю. Формула (19.14) говорит, что на Земле, к моменту его возвращения, прошло времени в

больше, чем то время , которое близнец-путешественник провел в своем космическом корабле. Таким образом, если ε достаточно близко к 1, то есть v близко к c, на Земле могло пройти сколь угодно большое время. Писателифантасты не раз эксплуатировали эту идею.

Высказывались и различные возражения против парадокса близнецов. Главное из них состоит в том, что космический корабль, чтобы набрать скорость v, должен двигаться ускоренно, а специальная теория относительности не может описать, что происходит в движущейся ускоренно системе. Ответ другой спорящей стороны состоит в том, что корабль может набрать скорость с очень малым ускорением, а затем находиться в свободном полете со скоростью v значительно более долгое время. Разумеется, и тормозить при посадке на Землю он должен с малым ускорением. Тогда условия будут близки к тем, которые хорошо описываются теорией относительности. Другое возражение основывается на том, что при разгоне тела до скорости, близкой к скорости света, нужно затратить невообразимо огромную энергию. Ну, это уж не кажется таким принципиальным. Кстати, движение в ускоренных системах координат прекрасно описывается общей теорией относительности, и парадокс близнецов при этом сохраняется. Так что дело лишь за экспериментальной проверкой на людях. На элементарных частицах «парадокс» полностью подтвержден.

Механика теории относительности. Я уже говорил раньше, что Эйнштейн развил кинематику теории относительности, обнаружив при этом новые удивительные свойства пространства и времени. Но он пошел и дальше, создав релятивистскую динамику. Ее специфика связана с относительностью времени, отсутствием абсолютного ньютоновского времени, зависимостью времени от движения системы отсчета, естественно связанной с движущимся телом или материальной частицей.

Нетрудно убедиться, что в теории относительности инвариантна следующая величина

(¯x₁ − x₁)² + (¯x₂ − x₂)² + (¯x₃ − x₃)² − c²(t¯− t)², (19.15)

которой присвоено несколько странное название «интервал». Здесь (x₁,x₂,x₃,t), (¯x₁,x¯₂,x¯₃,t¯) — две точки в одной и той же системе отсчета. Каждая такая точка четырехмерного пространства называется (может, чересчур пышно) событием. Разумеется, инвариантность в теории относительности, или релятивистская инвариантность, означает инвариантность относительно преобразования Лоренца. Лишь величины, не зависящие от нашего субъективного выбора системы отсчета, могут иметь физический смысл.

В случае, когда все приращения в (19.15) бесконечно малы, это выражение принимает вид

. (19.16)

Оказывается естественным ввести собственное время τ движущейся по произвольному закону x_j = x_j(t) точки, полагая

. (19.17)

Отсюда для определения функции τ = τ(t) получаем дифференциальное уравнение

. (19.18)

Здесь ε = v/c, причем скорость определяется по заданному закону движения точки. Добавив начальное условие τ(0) = 0, мы определим собственное время частицы однозначно.

Георг Минковский существенно упростил теорию, заметив, что после введения комплексной (чисто мнимой) переменной x₄ = ict, интервал (19.15) преобразуется к сумме квадратов. После этого становится ясно, что преобразование Лоренца получается попросту из преобразования вращения четырехмерного пространства переменных x₁, x₂, x₃, x₄. При этом, проводя многие аналитические выкладки, можно надолго забыть, что переменная x₄ играет особую роль (алгебра — сильная наука!), и вспомнить об этом лишь тогда, когда нужно осмыслить окончательный ответ. Такое четырехмерное пространство, с выделенной особо переменной x₄, носит название четырехмерный мир Минковского. (К слову сказать, когда идут дискуссии о том, является ли наше пространство трехмерным или четырехмерным, а может, имеет большую размерность, то речь идет именно о пространстве. Существование еще одной переменной t подразумевается. В современной квантовой теории поля рассматриваются и варианты очень больших размерностей: быть может, наше пространство 9-мерно или даже 20-мерно. Главным аппаратом в этой науке служит теория групп Ли.)

В механике (точнее, в динамике) теории относительности, как и в классической механике, работает принцип Гамильтона. Изменение, однако, состоит в том, что вместо абсолютного времени, которого не существует, нужно использовать собственное время движущейся материальной частицы. Я ограничусь здесь случаем материальной частицы. Случай твердого тела вызвал известные трудности в связи с невозможностью передачи «сигнала» с произвольно большой скоростью. Ведь твердое тело целиком и мгновенно реагирует на движение любой его части. Трудности здесь разрешил

П. Эренфест. Впрочем, Ландау считал, что твердые тела просто невозможны в теории относительности.

В четырехмерном пространстве Минковского определяется релятивистский лагранжиан L = L(x,u,τ), где x = (x₁,x₂,x₃,x₄), u = (u₁,u₂,u₃,u₄), τ — собственное время движения частицы, а величины u_j (j = 1,...,4) суть компоненты релятивистской 4-скорости, определяемой дифференцированием по τ (а не по t):

. (19.19)

Здесь t — время в некоторой фиксированной системе отсчета, которую мы можем считать неподвижной. Четвертая координата — особая:

. (19.20)

Целесообразно ввести еще компоненты скорости

в неподвижной системе координат.

Далее, для любых двух моментов τ₁ и τ₂ (пусть τ₁ < τ₂) собственного времени τ мы определяем релятивистское (инвариантное относительно преобразования Лоренца) действие

. (19.21)

Теперь постулируется вариационный принцип Гамильтона
δI = 0.	(19.22)

По-прежнему предполагается, что деформации не меняют начального и конечного положений частицы. Замечу, что вариационный принцип (19.22) имеет двойственную природу — он похож и на классический принцип Гамильтона, и на принцип Мопертюи–Якоби, описывающий движение на изоэнергетических поверхностях.

Чтобы найти лагранжиан свободной материальной частицы, можно действовать по аналогии с классической механикой. Пространство по-прежнему предполагается изотропным и однородным, но вместо принципа относительности Галилея, принимается принцип относительности Эйнштейна — инвариантность относительно преобразований Лоренца. Если воспользоваться представлением Минковского для четырехмерного пространства– времени, то нетрудно прийти к лагранжиану

. (19.23)

Сравните это выражение с классическим:

. (19.24)

Величина m₀ в (19.23) называется массой покоя частицы. Дальше мы увидим, что в отличие от классической механики, масса частицы зависит от её скорости (!).