Математические модели естествознания (стр. 40 из 64)

Зная лагранжиан (19.23), мы можем определить релятивистские импульсы:

. (19.25)

Уравнения движения, вытекающие из вариационного принципа (19.22), имеют вид

. (19.26)

Для свободной материальной частицы (лагранжиан (19.23)) эти уравнения принимают вид

. (19.27)

Когда на частицу действуют внешние силы с компонентами K_j, в уравнениях появляется правая часть

. (19.28)

Величины K_j суть компоненты вектора, называемого силой Минковского.

Если перейти в уравнениях (19.27) и (19.28) к дифференцированию по t, получим

. (19.29)

Мы использовали формулы (19.19), (19.20) и тот факт, что

.

Если теперь ввести обозначение

, (19.30)

то можно увидеть, что релятивистское уравнение движения (19.29) есть попросту уравнение движения частицы с переменной массой m:

. (19.31)

Итак, выяснилось, что масса — понятие относительное, она зависит от скорости движения. При этом масса m движущейся частицы всегда больше массы покоя m₀.

В развитии физики играет существенную роль принципсоответствия. Мы уверены, что классическая механика, подтвержденная невообразимо огромным экспериментальным материалом, не будет опровергнута никакими новыми открытиями — в своей области применимости. Всякая новая теория должна содержать новый параметр, в теории относительности это — скорость света c или ε = v/c, такой, что в пределе, в данном случае при c = ∞ или ε = 0, новая механика переходит в классическую. То же самое относится и к другим обобщениям фундаментальных теорий классической физики, и в первую очередь, к квантовой механике. Конечно, принцип соответствия работает и при дальнейших обобщениях новых физических теорий.

Итак, мы ожидаем, что при _ε → 0 релятивистские уравнения движения должны переходить в классические. Подсчитаем лагранжиан (19.23). Имеем

. (19.32)

Теперь перепишем выражение для релятивистского действия (19.21) в случае лагранжиана (19.23), переходя к интегрированию по времени t. Имеем

(19.33)

При малых ε подынтегральное выражение в (19.33) можно представить в виде

Итак, в классическом пределе, при _ε → 0 лагранжиан в (19.33) принимает вид

. (19.35)

Постоянный множитель

, конечно, несущественен. Дополнительное слагаемое −m₀c² заставляет нас насторожиться. Если представить себе, что лагранжиан есть разность между кинетической и потенциальной энергиями, то выходит, что появилась дополнительная потенциальная энергия

E = m₀c², (19.36)

которой обладает неподвижная материальная частица. Пока что трудно утверждать, что эта формула имеет серьезный физический смысл, потому что постоянный лагранжиан тривиален. Такое слагаемое в (19.35) можно просто отбросить, это не повлияет на уравнение движения. Итак, мы установили, что при _ε → 0 релятивистские уравнения движения частицы переходят в классические.

Энергия в теории относительности. Мы будем пользоваться общим определением энергии в механике Гамильтона-Лагранжа:

E = vL_v − L. (19.37)

Подправим выражение (19.33), внося в него такой постоянный множитель, чтобы в пределе _ε → 0 получались в точности классическое действие и классический лагранжиан. Согласно (19.35), для этого нужно умножить (19.33) на 2. В результате получаем релятивистское действие в виде

(19.38)

Лагранжиан дается формулой

. (19.39)

Теперь вычислим энергию E. Из (19.39) имеем

. (19.40)

По формуле (19.37) получаем

. (19.41)

Вот теперь нет сомнений, что при v = 0 частица действительно обладает энергией покоя, определяемой по формуле (19.36). Вообще, формула (19.41) описывает глубокую связь между массой и энергией и, в некотором смысле, их эквивалентность. Множитель c² выглядит как коэффициент перехода от одних единиц измерения к другим, вроде механического эквивалента теплоты. При желании энергию можно было бы измерять в граммах или других единицах массы.

Когда элементарные частицы — протоны, нейтроны и электроны — объединяются в один атом, масса атома оказывается меньше суммарной массы этих частиц. Теряется свойство аддитивности массы. Причина состоит в том, что при таком соединении испускается свет, электромагнитная волна. Частицы света имеют нулевую массу покоя (для них m₀ = 0). Двигаются они, понятно, со скоростью c. Если при этом излучается энергия ∆E, то возникает дефект массы

. (19.42)

Так теория относительности непринужденно объяснила, почему атомные массы (чаще говорят о весах) элементов меньше, чем суммарные массы составляющих атомы частиц.

20. Каноническая гамильтонова форма уравнений механики

При определенных условиях общего положения (невырожденности системы) уравнения Лагранжа могут быть приведены к канонической форме

Гамильтона. В случае n степеней свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему n уравнений второго порядка, а соответствующая гамильтонова система содержит 2n уравнений первого порядка. Канонические (ныне чаще называемые гамильтоновыми) уравнения не только отличаются особым изяществом, но обладают рядом специфических алгебраических и геометрических свойств, делающих их наиболее удобным инструментом исследования в механике и ее приложениях. В дальнейшем я продемонстрирую применение гамильтоновых уравнений в статистической механике.

ПреобразованиеЛежандра. Рассмотрим функцию двух скалярных переменных f(x,y). Ее дифференциал запишем в виде

. (20.1)

Замечая, что udx = d(ux) − xdu, можно переписать равенство (20.1) в виде

d(xu − f) = xdu − vdy. (20.2)

Теперь сделаем одновременную замену функции и ее аргументов, полагая

g(u,y) = xu − f. (20.3)

Здесь, вместо x, y, введены аргументы u и y.

Это и есть преобразование Лежандра по переменной x. Заметим, что такое преобразование можно провести не всегда, а лишь в том случае, когда замена переменных (x,y) → (u(x,y),y) взаимно однозначна в области определения функции f. Для того, чтобы эта взаимная однозначность имела место, хотя бы локально, достаточно (согласно теореме о неявной функции), чтобы был отличен от нуля якобиан:

. (20.4)

Гамильтоновы уравнения. Канонические уравнения Гамильтона получаются из уравнений Лагранжа второго рода посредством преобразования Лежандра по всем обобщенным скоростям q˙_i. Можно применить формулу (20.3), но, как и во многих других случаях, целесообразно воспользоваться лишь идеей, а выкладки провести непосредственно.

Запишем дифференциал функции Лагранжа L(q,q,t˙ ) при фиксированном t в виде

. (20.5)

Введем обозначения

(20.6)

и назовем p вектором импульса, p_i — его i-ая компонента; i = 1,...,n, если n — число степеней свободы.

Далее используем равенства

. (20.7)

В компактной форме они записываются как
Lq˙ · dq˙ = d(p · q˙) − q˙ · dp. Введем функцию Гамильтона H = H(p,q,t), полагая	(20.8)
H = p · q˙ − L = piq˙i − L.	(20.9)

Теперь, подставляя выражение (20.8) в (20.5), приходим к формуле

dH = q˙ · dp − L_q · dq. (20.10)

Отсюда следуют равенства