Математические модели естествознания (стр. 41 из 64)
Hp = q,˙ Hq = −Lq. (20.11)
До этого момента мы не вспоминали об уравнении Лагранжа
, (20.12)которое теперь запишем в виде p˙ = Lq.
В результате из соотношений (20.11) и (20.12) выводим канонические уравнения Гамильтона
p˙ = −Hq, q˙ = Hp, (20.13)
или, в координатах,
, 
(20.14)Гамильтониан H = H(p,q,t), как видно из его определения (20.9), есть не что иное как полная механическая энергия системы, выраженная через координаты и импульсы. В случае, когда он не зависит от времени, выполняется закон сохранения энергии: H(p,q) есть интеграл гамильтоновой системы (20.14) (проверьте!).
Подчеркну, что преобразование Лежандра, которое привело нас к гамильтоновым уравнениям (20.14), применимо не всегда. Может оказаться, что в фазовом пространстве имеются поверхности, линии или отдельные точки, в которых отсутствует взаимно однозначная связь между обобщенными скоростями q˙i и импульсами pj. Это происходит, когда нарушаются условия теоремы о неявной функции для уравнения p = Lq˙(q,q˙):
. (20.15)Гамильтонова система (20.14) допускает красивую и полезную трактовку как одно векторное уравнение в R2n. Определим вектор x ∈ R2n, полагая x = (q,p) = (q1,...,qn,p1,...,pn). Вместо H(p,q) будем теперь писать H = H(x). Тогда grad H можно записать в виде grad
Введем оператор J : R2n → R2n, задав его операторной матрицей
, (20.17)где In : Rn → Rn — тождественный оператор в Rn. Заметим, что J2 = −I2n (I2n — тождественный оператор в R2n). Система (20.14) записывается теперь в виде
x˙ = J grad H(x). (20.18)
Гамильтонова форма уравнения второго закона Ньютона. Обобщенное уравнение второго закона Ньютона определяется лагранжианом
, (20.19)где x — точка евклидова пространства H. В случае конечномерного евклидового пространства H, dimH = n, его можно отождествить с Rn. Замечу, однако, что развиваемый формализм не зависит от размерности и применим, например, к волновому уравнению. Иное дело, что в случае бесконечномерного гильбертова пространства H нужны, конечно, дополнительные обоснования производимых нами операций. Аналогично (20.7) вводим импульс p, полагая
p = Lx˙ = Mx˙. (20.20)
Гамильтониан, соответствующий лагранжиану (20.19), получаем с использованием формулы (20.9), выражая скорость через импульс посредством равенства x˙ = M−1p. Он имеет вид
Соответственно, гамильтонова форма обобщенного уравнения второго закона Ньютона имеет вид
| p˙ = −grad V (x), x˙ = M−1p. Мы воспользовались здесь простой общей формулой | (20.22) |
grad
(20.23)справедливой для любого линейного самосопряженного оператора A (для произвольного линейного оператора справа следует написать
Хотя здесь нет места для строгого изложения, не могу удержаться от того, чтобы не привести следующий пример из математической физики. Волновое уравнение. Рассмотрим волновое уравнение в области D ⊂
Rn
ρ(x)utt = c2∆u (20.24)
с краевым условием
. (20.25)Здесь ρ(x) — непрерывная неотрицательная функция, удовлетворяющая условию ρ(x) ≥ ρ0 > 0, c > 0 — положительная константа, как и ρ0. Мы уже видели, см. формулы (5.20) – (5.27), что это уравнение допускает интеграл энергии. Кинетическая энергия T и потенциальная энергия V задаются формулами
(20.26)(20.27)
Вы помните, что градиент функционала V , заданного на гильбертовом пространстве H, в точке u ∈ H определяется равенством
) = (grad V (u),v), (20.28)
которое должно выполняться для любого v ∈ H. Левая часть этого равенства есть дифференциал Гато в точке u, и предполагается, что он является также и дифференциалом Фреше.
В нашем случае H = L2(D), и grad V (u) определен не для всех u, а лишь для достаточно гладких функций, скажем, для u ∈ C2(D) (а более того, для
). Для такой функции u имеем 
В промежуточном равенстве использована C1-гладкость функции v, но последнее равенство имеет смысл уже для любой функции
. Его можно обосновать непосредственно, приближая 
гладкими функциями. Таким образом, для достаточно гладких функций u получаемgrad
(20.30)Подчеркну, что градиент в (20.30) берется в пространстве H = L2(D). Вы, конечно, помните, что градиент зависит от выбора скалярного произведения.
Поскольку рассматриваемая система натуральна, так что L = T − V , имеем
Lu = −grad V = c2∆u
Таким образом, гамильтонова форма волнового уравнения имеет вид
(20.31)(20.32)
Вырожденныелагранжианы. Для вырожденных лагранжианов — линейных по скорости и имеющих вид L(q,q˙) = A(q,t)q˙ + B(q,t), см. (10.23), очевидно, Lq˙q˙ = 0 тождественно. Поэтому преобразование Лежандра неприменимо ни в какой точке. В этом случае гамильтониан H не зависит от q˙ и даже тождественно равен нулю при B ≡ 0. Действительно, согласно общему определению, p = Lq˙ = A(q,t), и
H = p · q˙ − L = A(q,t) · q˙ − A(q,t) · q˙ − B(q,t) = −B(q,t). (20.33)
Действуя формально, мы можем написать соответствующие гамильтоновы уравнения в виде p˙ = Bq, q˙ = 0. Однако эти уравнения не имеют никакого отношения к исходной системе уравнений Лагранжа (объясните, почему?). Это лишний раз напоминает нам о необходимости контролировать законность проводимых формальных выкладок.
Интересно заметить, что в математической физике встречаются такие системы, которые имеют гамильтонову форму по своей исходной постановке. Замечательный пример тому — уравнения Кирхгофа, описывающие динамику системы вихревых нитей (или точечных вихрей на плоскости, либо на иной поверхности) в жидкости. По всей видимости, их нельзя получить ни из каких лагранжевых уравнений. Эта система последние десятилетия вызывает повышенный интерес исследователей и как своеобразный пример, на котором испытываются и развиваются новые методы качественной теории дифференциальных уравнений, и как подходящая модель для описания вихрей в атмосфере, а также электронных колонн при электрическом газовом разряде. О системе уравнений Кирхгофа можно прочитать практически в любом учебнике по гидродинамике. С новейшим развитием теории можно познакомиться по книге [45].
Интересный вопрос о возможности построения системы уравнений Лагранжа, которой бы отвечала заданная гамильтонова система, по-моему, совсем не разобран. Дело сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, которое получает-
∂L
ся подстановкой выражения импульса p =
через обобщенные коорди-∂q˙
наты q и обобщенные скорости q˙ в равенство (20.9), выражающее гамильтониан через лагранжиан. Это дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции L = L(q,q,t˙ ) записывается в виде
(20.34)Далеко не всегда у него есть решение, определенное на всем расширенном фазовом пространстве переменных (q,q,t˙ ). Подобные результаты можно получить, лишь налагая на гамильтониан специальные ограничения. Вместе с тем, механика не содержит никаких ограничений такого рода. Выходит, что нужно искать дополнительные свойства гамильтонианов, которые вытекают из законов термодинамики.