Математические модели естествознания (стр. 42 из 64)
Замечу, что подобные проблемы постоянно возникают в механике и в математической физике. И уравнения механики, и уравнение диффузии, и волновые уравнения зачастую содержат функции от переменных состояния и параметры, которые предлагается определять из экспериментов. Любые знания об этих функциях, скажем, о зависимости коэффициента теплопроводности от температуры или о зависимости скорости распространения волны в данной среде от параметров ее состояния, могут существенно сократить необходимую экспериментальную работу. В идеале, дело должно сводиться к экспериментальному определению небольшого числа констант. Иногда к такому приятному результату нас приводят те или иные асимптотические методы.
Скобка Пуассона. Для любой гладкой функции F(p,q), заданной на фазовом пространстве гамильтоновой системы (20.13), можно найти ее производную F˙(p,q) в силу уравнения движения (20.13) в векторной форме
| F˙ = FqHp − FpHq, или в координатах | (20.35) |
. (20.36)Правая часть этого уравнения называется скобкой Пуассона функций F и H и обозначается как {F,H}. Очевидно, функция F является интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом H в том и только в том случае, когда
{F,H} = 0. (20.37)
Оказывается полезным определить скобку Пуассона {F,G} для произвольных гладких функций F(p,q) и G(p,q), полагая
{F,G} = FqGp − FpGq. (20.38)
Введенная таким образом билинейная операция над функциями кососимметрична:
{F,G} = −{G,F}. (20.39)
Скобка Пуассона определяет своего рода умножение пары функций. Эта операция, согласно (20.39), кососимметрична и неассоциативна. Некоторой заменой ассоциативности служит тождество Якоби для тройки произвольных гладких функций f, g, h:
{f,{g,h}} + {g,{h,f}} + {h,{f,g}} = 0. (20.40)
Билинейная операция, обладающая свойствами (20.39) и (20.40) для произвольных пар и, соответственно, троек из некоторого линейного пространства, определяет важную алгебраическую структуру — алгебру Ли.
Тождество Якоби допускает красивую алгебраическую трактовку. Оператор A, действующий в алгебре Ли, называется дифференцированием этой алгебры, если для него справедливо равенство, которое можно назвать равенством Лейбница
A{g,h} = {Ag,h} + {g,Ah}. (20.41)
Каждый элемент f определяет линейный оператор Af по формуле
Afg = {f,g}. (20.42)
Тождество Якоби говорит, что оператор Af есть дифференцирование алгебры Ли. Действительно, учитывая кососимметричность скобки Пуассона, равенство (20.40) можно переписать в виде
{f,{g,h}} = {{f,g},h} + {g,{f,h}}, (20.43)
что совпадает с (20.41) при A = Af.
Как доказал Пуассон, если F и G — два интеграла гамильтоновой системы (20.13), их скобка Пуассона {F,G} также есть интеграл. Это означает, что множество всевозможных C∞-гладких интегралов гамильтонова уравнения образует алгебру Ли.
Результат Пуассона может вызвать неоправданный оптимизм по поводу проблемы интегрируемости уравнений Гамильтона. Может показаться, что последовательно вычисляя скобки Пуассона известных нам интегралов, можно найти достаточное их число для полного решения гамильтоновой системы. Увы, скобка двух интегралов может оказаться тривиальным интегралом (константой) или функцией от уже известных интегралов. Так оно обычно и получается. Например, знание интегралов энергии, импульса и момента импульса не позволяет найти новые интегралы гамильтоновой системы.
21 Силы трения. Диссипация энергии
Интересная и очень важная для механики, геометрии и вариационного исчисления теория канонических гамильтоновых систем рассмотрена во многих книгах, см. классическое изложение в [14, 46]. Современное изложение в рамках геометрии многообразий дано в книге В.И.Арнольда [3].
Упражнения
1. Докажите, что гамильтонову систему (20.14) можно записать в виде
p˙i = {pi,H}, q˙i = {qi,H},
или, вводя очевидные векторные обозначения,
p˙ = {p,H}, q˙ = {q,H}.
2. Докажите, что если бы скобка Пуассона обладала свойством ассоциативности, то отсюда следовало бы тождество Якоби.
3. Докажите (а если не получится, найдите доказательство в рекомендованных книгах [14, 46, 3]) тождество Якоби (20.40).
4. Из тождества Якоби (20.40) выведите утверждение Пуассона: вместес двумя интегралами F и G, также их скобка Пуассона {F,G} есть интеграл.
5. Докажите, что для любых трех гладких функций F, G, K от p и p в случае, когда K обращается в ноль вне некоторого шара, справедливо равенство
Z Z
{G,F}K dpdq = F{K,G}dpdq.
R2n R2n
Отсюда следует, что в случае недифференцируемой функции F скобке Пуассона {F,G} можно придать смысл обобщенной функции — распределения.
6. Докажите, что преобразование Лежандра переводит выпуклые функции в выпуклые. Более того, справедливо равенство guu(u,y) = fxx(x,y) в обозначениях (20.2), (20.3).
7. Запишите интегралы импульса и момента импульса для гамильтоновой формы второго закона Ньютона (20.22) в условиях, когда все они существуют. Найдите их скобки Пуассона. Докажите, что эти 6 интегралов порождают алгебру Ли, так что новых интегралов этим способом получить не удается.
21. Силы трения. Диссипация энергии
В природе все реальные механические системы находятся под действием тех или иных сил трения. Брошенный на Земле камень не сохраняет постоянную поступательную скорость движения, как то предписывается законом Галилея (он же — первый закон Ньютона), а довольно скоро останавливается из-за сопротивления воздуха и сухого трения о поверхность, когда он катится по земле. Силы трения — немеханического происхождения. Поэтому, как правило, в курсах механики, написанных физиками (Ландау и Лифшиц, Голдстейн, Синг), силы трения не рассматриваются. Вместе с тем, механики, рассчитывающие на инженерные приложения своей науки, уделяют значительное внимание силам трения (Лойцянский и Лурье, Аппель, Леви – Чивита и др.). Пожалуй, наиболее полное представление о большой сложности законов трения и о современном состоянии их изучения можно получить по книге И.И. Воровича [8]. Вообще, надо признать, что силы трения, возникающие из-за взаимодействия системы с окружающей средой, пожалуй, наиболее сложные из известных нам сил природы.
Простейшее, и не вполне точное, определение сил трения состоит в том, что они ведут к уменьшению, к рассеянию энергии. Часто употребляемый синоним слова рассеяние — диссипация. Неточность этого определения связана с тем обстоятельством, что зачастую силы трения имеют двойственную природу и могут иногда приводить и к увеличению энергии. Вообще, силы трения очень разнообразны, и трудно, если не сказать невозможно, сформулировать единообразно общие законы трения. Здесь мы рассмотрим лишь простейшие виды трения.
Само понятие о диссипации энергии возникает, когда рассматриваются незамкнутые системы и не все виды энергии принимаются во внимание. Скажем, диссипация механической энергии означает, что часть энергии превращается в другие виды, обычно — в тепловую энергию.
Начнем с обобщенного уравнения второго закона Ньютона в евклидовом пространстве H:
Mx¨ = −grad V (x). (21.1)
Как мы знаем, для этого уравнения справедлив закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия
(21.2)является интегралом уравнения (21.1). Когда система двигается во внешней среде, действует дополнительная сила, возникающая из-за взаимодействия со средой (сила сопротивления внешней среды), которая в обычных условиях (скажем, в спокойной и безветренной атмосфере) приводит к затуханию движения. Когда тело находится в покое, сила сопротивления равна нулю. Если допустить, что она гладко зависит от скорости x˙, то можно утверждать, что хорошим приближением при малых скоростях будет закон трения
F = −B(x)x,˙ (21.3)
где B(x) для каждого x ∈ H есть линейный оператор. Тогда уравнение (21.1) придется заменить уравнением
Mx¨ = −grad V (x) − B(x)x.˙ (21.4)
Вычисляя производную по времени от энергии E, получаем уравнение изменения энергии:
. (21.5)Поскольку согласно определению, действие силы трения приводит к уменьшению энергии, нужно считать, что B(x) для каждого x является положительно определенным, или хотя бы положительным оператором, так что для любого ξ ∈ H и любого x выполняется неравенство
(B(x)ξ,ξ) ≥ 0. (21.6)
Если это неравенство может превратиться в равенство лишь для ξ = 0, так что оператор B(x) является строго положительным, то говорят, что сила трения −B(x)x˙ обладает свойством полной диссипации. В этом случае, согласно уравнению (21.5), энергия E уменьшается, диссипирует при любых движениях. Замечу, что в конечномерном случае из строгой положительности следует положительная определенность оператора, в бесконечномерных задачах это уже не так.