Математические модели естествознания (стр. 43 из 64)
Естественно ввести диссипативную функцию Рэлея W, полагая
. (21.7)Тогда сила трения F = −B(x)x˙ выражается в виде
F = −grad x˙W. (21.8)
Силу трения, определяемую диссипативной функцией, называют рэлеевской. Чаще всего встречается рэлеевская сила трения F = −Bx˙ с оператором B, не зависящим от x.
В определении Рэлея весьма существенно требование симметричности оператора B. Именно это свойство однозначно определяет оператор B при заданной диссипативной функции W, которая является квадратичной формой от x˙. Произвольный линейный оператор A : H → H можно представить в виде суммы
A = Ar + Ac, (21.9)
где Ar — симметричный оператор, а Ac — кососимметричный. Они выражаются формулами
. (21.10)Ясно, что кососимметрическое слагаемое не дает вклада в квадратичную форму (Aξ,ξ), поскольку (Acξ,ξ) = 0 для всех ξ ∈ H. Силы вида Acx˙ тоже, конечно, встречаются в механике, но имеют совсем иную физическую природу: это гироскопическиесилы. Такая сила не совершает работы при реальных движениях, не вносит вклада в уравнение изменения энергии (21.5). Рэлей, вводя требование симметричности для оператора B, со вкусом разделил эти два вида сил. Интересно, что еще Ньютон, выводя закон сохранения живой силы (так тогда называли кинетическую энергию), заметил, что сила, в каждый момент времени ортогональная к скорости, не препятствует сохранению живой силы. Курьезно, что это замечание Ньютона несколько сот лет оставалось почти неизвестным из-за того, что при переводе главного труда Ньютона с латыни на английский как раз в этом месте допустили ошибку.
Приведу здесь общее определение. Оператор Γ : H → H, действующий в евклидовом (в частности, гильбертовом) пространстве H, называется гироскопическим, если для всех ξ ∈ H выполняется равенство
(Γξ,ξ) = 0. (21.11)
В частности, кососимметрический оператор есть линейный гироскопический. Можно еще сказать, что гироскопическим называется оператор, который является косимметрией тождественного оператора Ix = x.
Одним из классических примеров гироскопической силы служит сила Кориолиса Fc = 2ω ∧ v, возникающая в уравнениях относительного движения, записываемых в подвижной системе координат, вращающейся с угловой скоростью ω. Гироскопическую силу, например, приходится учитывать при расчете движения тел относительно Земли.
Диссипация энергии при движении вязкой жидкости, функционал Рэлея
Уравнения Навье–Стокса в случае несжимаемой жидкости имеют вид
(21.12)div v = 0, (21.13)
где v = v(x,t) — поле скорости, p = p(x,t) — давление, x — точка
пространства R3 (или R2), t — время, а материальная производная
дается равенством: 
. Будем считать, что жидкость заключена в области D ⊂ R3, граница которой ∂D неподвижна и непроницаема для жидкости, так что выполняется краевое условие
. (21.14)Предполагается, что на жидкость не действуют никакие внешние силы, впрочем, если сила потенциальна, какова, например, сила тяжести, то её удельную потенциальную энергию можно просто добавить к давлению, а на скорость она не влияет.
Наша цель сейчас — во-первых, показать, что сила ньютоновского трения ν∆v (ν > 0 — кинематический коэффициент вязкости) является рэлеевской — при естественном обобщении данного понятия. Для этого мы введем соответствующий функционал Рэлея. Затем мы покажем, что при сформулированных условиях кинетическая энергия жидкости экспоненциально затухает при t → +∞. Замечу, что в следующих рассмотрениях существование и единственность решения задачи (21.12)–(21.14) с начальным условием
(21.15)предполагается. В (21.15) начальное поле скорости v0 — достаточно гладкое и соленоидальное (div v0 = 0). На самом деле, существование и единственность доказаны лишь в двумерном случае, а в трехмерном — это одна из самых трудных проблем математической гидродинамики, решенная лишь для малых начальных скоростей v0. Недавно частный институт Клэя в США объявил премию в 1 млн долларов за её решение. О современном состоянии проблемы Вы можете прочитать в моей статье [53].
На пространстве гладких соленоидальных полей, удовлетворяющих краевому условию (21.14), определим квадратичный функционал W, полагая
(21.16)Интегрируя по частям, можно и полезно привести функционал W к виду, содержащему лишь первые производные. Учитывая, что граничные интегралы пропадают ввиду краевого условия (21.14), получаем
(21.17)Варьируя W, находим
(21.18)Таким образом, градиент функционала W в пространстве L2(D) имеет вид
grad W = −ν∆v. (21.19)
Итак, W, действительно, есть диссипативный функционал Рэлея, ньютоновское трение является рэлеевским. Вспоминая определение функциональной производной и функционального градиента, можно также написать
− ν∆v = Grad W[v], (21.20)
или в координатах
. (21.21)Теперь докажем, что нелинейный член в уравнении Навье – Стокса обладает гироскопическим свойством. Мы установим более общее равенство
Z
(u,∇)v · v dx = 0, (21.22)
D
если векторное поле u соленоидально и касательно к границе
0. Имеем 
(21.23) Интегрируя по частям, получаем
div 
(21.24)Оба слагаемых справа исчезают, ввиду предположенных свойств поля u, что и приводит к равенству (21.22).
Заметим, что от поля v не пришлось ничего требовать, кроме достаточной регулярности. Кроме того, краевое условие (21.14) использовано здесь не в полной мере — требуется лишь, чтобы на границе исчезла нормальная компонента скорости. Поэтому равенство (21.22) справедливо и в том случае, когда u — поле скоростей идеальной жидкости при условии непроницаемости границы (
Теперь умножим уравнение движения вязкой жидкости (21.12) скалярно на v и проинтегрируем по области D. Примем в расчет равенство (21.22) при u = v, а также равенство
Z
| v · ∇pdx = 0. D В результате получим уравнение диссипации энергии | (21.25) |
(21.26)которое в терминах кинетической энергии T и функционала Рэлея W записывается в виде
(21.27)Замечу, что равенство (21.27) весьма желательно, по существу даже необходимо, сохранять при любых способах аппроксимации уравнения Навье – Стокса. Можно даже рекомендовать при построении сеточной или спектральной аппроксимации начинать с аппроксимации функций T и W. Опыт говорит, что нарушение фундаментального уравнения (21.27) приводит к непригодности приближенной схемы решения, которая в таком случае может давать даже качественные неправильные результаты. Например, кинетическая энергия T может оказаться бесконечно большой, хотя, согласно точному уравнению (21.26), она монотонно убывает со временем.
Экспоненциальное затухание энергии
В случае сил трения с полной диссипацией, в предположении, что система конечномерна, можно доказать, что возмущения устойчивого равновесия затухают экспоненциально. Решения линейной задачи суть линейные комбинации элементарных решений вида eλtϕ, причем все собственные значения λ лежат в левой полуплоскости: Reλ < 0; в отсутствие гироскопических сил все они вещественны. В достаточно общих условиях теорема Ляпунова о законности линеаризации устанавливает, что экспоненциальное затухание сохраняется и для нелинейной задачи. В бесконечномерных задачах, скажем, в механике сплошной среды, ситуация осложняется. Линеаризованная задача может обладать непрерывным спектром, так что для ее решений уже нет такого простого представления. Даже когда подобное представление решений линеаризованной задачи, на сей раз в виде бесконечного ряда, имеет место, может статься, что вообще невозможно дать никакой квалифицированной оценки скорости затухания — возмущения могут затухать сколь угодно медленно, см. упражнения 1,2.