Математические модели естествознания (стр. 45 из 64)

Из приведенного выше постулата следует вывод, что все макроскопические уравнения физики суть уравнения для средних, для математических ожиданий соответствующих величин. Это относится и к уравнению тепло-

22 О законах термодинамики

проводности (диффузии), и к уравнениям механики сплошной среды. Такая трактовка, например, уравнения теплопроводности позволяет объяснить его парадоксальное свойство — тот факт, что изменение температуры (или концентрации) в некоторый момент времени мгновенно влияет на поле температуры (концентрации) во всей области, занятой проводником тепла. Выходит, как будто, что тепло распространяется с бесконечно большой скоростью. На самом деле, с бесконечной скоростью распространяется плотность вероятности.

Другое важное следствие основного постулата состоит в том, что макроскопические уравнения, в принципе, должны быть дополнены уравнениями для случайных отклонений от средних. Эти отклонения называются флуктуациями соответствующих величин, и обычно они бывают малыми. Несмотря на это, именно флуктуации вызывают некоторые макроскопически наблюдаемые явления. Например, голубой цвет неба объясняется рассеиванием солнечного света на флуктуациях плотности воздуха в высоких слоях атмосферы. О другом замечательном явлении того же рода — о броуновском движении — дальше мы поговорим подробнее.

Как и многие другие общие положения естествознания, приведенный выше принцип не содержит ясных условий его применимости. Вам, наверное, бросилось в глаза, что он ничего не говорит о том, какая именно инвариантная плотность (если их много) является «надлежащей». Мы теперь рассмотрим то распределение вероятности в фазовом пространстве системы, которое, если не всегда, то, во всяком случае, для весьма широкого круга явлений оказывается адекватным и блестяще подтверждается экспериментом.

22. О законах термодинамики

В настоящее время термодинамика, по крайней мере, некоторое ее ядро, вполне формализовано и может считаться с формальной точки зрения одним из разделов математической физики. Она основывается на небольшом числе аксиом, обычно называемых законами или началами. Перед тем как напомнить Вам начала термодинамики, замечу, что название «термодинамика» неточно. На самом деле, эта наука изучает равновесные, статические состояния, а не эволюцию. Более правильным было бы название «термостатика», хотя в термодинамике рассматриваются также квазистатические процессы — столь медленные, что в каждый момент времени к ним применимы начала термодинамики. Поскольку термин термодинамика был уже занят, истинную термодинамику стали называть неравновесной термодинамикой.

Нулевоеначалотермодинамики. Оно состоит в том, что в число параметров, описывающих состояние изучаемой системы, входит температура T. Другими параметрами могут быть объем, плотность, концентрации различных компонент вещества, а также и параметры, характеризующие электромагнитное поле, скажем, напряженности электрического и магнитного полей. Возможно и появление иных параметров, характеризующих различные поля и виды вещества.

Термодинамика, особенно неравновесная термодинамика — наука с большой претензией, полагающая, что она должна описывать любую физическую систему. Если даже температура не входит в число параметров состояния некоторой системы, то физик скажет, что в ней процессы изотермичны (происходят при постоянной температуре).

Первое начало термодинамики. Первым началом термодинамики называют закон сохранения и превращения энергии применительно к термодинамическим системам. Этот закон в дифференциальной форме может быть выражен равенством

dE = δQ + δA. (22.1)

Здесь E — внутренняя энергия системы. Постулируется, что E — функция состояния системы. Далее δQ — элементарное количество тепла, переданное системе в результате данного процесса. Подчеркннем, что, вообще говоря, не существует функции состояния Q, так что обозначение δQ следует понимать как единый символ, δQ — функция процесса, а не состояния. Наконец, δA — элементарная работа, произведенная над системой внешними силами, это также функция процесса, и не существует такой функции состояния A. Однако во многих важных случаях внешние силы оказываются потенциальными, и тогда можно записать, что δA = dW, где W — потенциальная энергия внешних сил, которая уже является функцией состояния.

С математической точки зрения, dE, δQ и δA суть дифференциальные 1–формы, называемые также пфаффовыми формами. Если x₁,...,x_n — параметры состояния, то каждую из 1–форм, например δA, можно представить в виде

. (22.2)

Не всякая такая форма может быть представлена как дифференциал некоторой функции, если это возможно, то форму называют точной. Напри-

О законах термодинамики

мер, для энергии E = E(x₁,...,x_n) имеем

. (22.3)

Второе начало (второй закон) термодинамики. Этот закон по существу состоит из двух частей. Первая из них (мало известная широкой публике) состоит в том, что существует функция состояния S, называемая энтропией, такая, что дифференциальная форма δQ может быть представлена в виде

δQ = TdS. (22.4)

Таким образом, форма δQ, не будучи точной, является голономной — превращается в точную пфаффову форму после умножения на интегрирующий множитель 1/T. При обратимых процессах энтропия остается постоянной.

Вторая часть закона состоит в том, что при необратимых процессах в замкнутой термодинамической системе энтропия всегда возрастает. Система называется замкнутой, если она не взаимодействует с другими системами, в частности, на нее не действуют извне механические или, скажем, электрические силы, а также исключена теплопередача — поступление теплоты от других систем или отвод тепла.

Второе начало термодинамики широко известно и зачастую поминается в различных вульгаризованных формах. Стоит подчеркнуть, что энтропия возрастает лишь в замкнутых системах, а в столь сложных системах как живые организмы, росту энтропии противостоит взаимодействие с внешним миром (питание, дыхание), дающее постоянный приток энергии. В форме замкнутой системы живые организмы не могут существовать. В конечном счете, условием жизни на Земле является приток энергии от солнца. Гораздо меньше приток энергии от радиоактивного распада веществ, входящих в состав вещества Земли.

Замечу еще, что у второго начала термодинамики имеются и другие, более приземленные формулировки. Например, можно его выразить так: теплота не может передаваться от холодного тела к горячему (с более высокой температурой). Теплота не может передаваться от холодного тела к горячему ни в каком процессе, если в нем не участвуют другие тела.

Второе начало термодинамики занимает особое место среди всех физических законов. Это единственный закон, который, как говорят, определяет «стрелу времени», направление эволюции.

Основные законы термодинамики были установлены в середине XIX века в трудах Джоуля, Майера, Карно (первое начало термодинамики) и Карно, Клаузиуса, Кельвина (второе начало). Имеется еще третье начало термодинамики (постулат Нернста), которое гласит, что абсолютный нуль температуры недостижим. Первой задачей статистической механики, которую стал развивать Людвиг Больцман, было объяснение законов термодинамики на основе представления о веществе как о совокупности атомов и молекул.

23. Теоремы Пуанкаре о возвращении

Прелесть математической физики для исследователя состоит и в том, что никогда не знаешь, чем нужно будет заниматься завтра. Математическая физика изумительно разнообразна и по постановке проблем, и по привлекаемому математическому аппарату. Признаюсь, мне иногда трудно понять, как это у многих чистых математиков хватает терпения десятки лет заниматься одним и тем же, оставаясь в узких рамках одного предмета.

Мы сейчас начинаем постепенно переходить от классической механики к статистической физике (механике). Первой основной целью этой науки является объяснение и углубленное понимание основных законов термодинамики. Например, мы с вами увидим, как из классической механики с применением идей теории вероятностей можно вывести закон Клапейрона– Менделеева для газов. В основе этого исследования лежит представление о веществе, скажем, о газе, как о совокупности взаимодействующих материальных частиц. Из всех мыслимых форм уравнений движения в механике наиболее подходящими для развития статистической механики оказались гамильтоновы уравнения. Мы уже сделали первый шаг к развитию статистической механики, когда вывели уравнение Лиувилля и нашли инвариантную меру на изоэнергетической поверхности. И вот оказывается, что для второго шага нужно теперь заняться работой на значительно более высоком уровне абстракции.

Вообще, математические идеи и теории становятся наиболее понятными и обозримыми, когда они излагаются в надлежащей степени общности. Тут, конечно, нужно чувство меры, бывает и так, что чрезмерная общность рассмотрения затемняет главные идеи.