Математические модели естествознания (стр. 46 из 64)

Анри Пуанкаре в конце XIX-го века первым понял, сколь безнадежно пытаться найти полный набор интегралов для достаточно сложных и общих механических систем. Он построил примеры таких систем, у которых нет

иных интегралов, кроме интеграла энергии. Более того, именно такая ситуация является типичной. Пуанкаре рассматривал системы, получаемые малым возмущением некоторой вполне интегрируемой системы. Оказалось, что таким путем в условиях общего положения получаются неинтегрируемые системы.

Как вообще доказать, что некоторая система не имеет интеграла? Это может случиться, если движения системы весьма сложны, например, имеется движение — решение x(t) соответствующей системы дифференциальных уравнений в Rⁿ, траектория T которого всюду плотна в некоторой области D в Rⁿ. Если теперь предположить, что имеется интеграл ϕ(x), так что ϕ(x(t)) = c (c — постоянная) для всех t, то в итоге получится, что функция ϕ(x) постоянна всюду на плотном множестве в D — на траектории T . Но если ϕ — непрерывная функция, постоянная на плотном множестве, то она постоянна и на его замыкании, так что ϕ(x) = c всюду в области D. Выходит, ϕ — тривиальный интеграл, по крайней мере, в области D.

Если допустить, что ϕ — аналитическая функция, то по теореме единственности для аналитических функций выйдет, что ϕ(x) = c всюду в Rⁿ.

Для аналитических функций ϕ при определенных дополнительных условиях бывает даже достаточно предположить, что траектория T плотна не во всей области D, а лишь, на некоторой гиперповерхности. И отсюда уже удается вывести, что эта функция есть константа.

Оказывается, траектории со столь сложным поведением действительно существуют в механических системах, что и препятствует существованию нетривиальных интегралов.

Пространство с мерой. Пусть X — множество, его элементы могут иметь любую природу. Предположим, что выделен некоторый класс Σ его подмножеств, который является σ-алгеброй. Это означает, что теоретикомножественные операции — взятие объединения, пересечения, разности, дополнения, примененные даже счетное число раз, не выводят за пределы класса Σ. Например, если множества E₁, E₂,... принадлежат классу Σ (в символах E_n ∈ Σ, n = 1,2,...), то их объединение и пересечение также принадлежат классу Σ, или в символах,

,

(23.1)

Если E ∈ Σ, и E⁰ = X \ E — его дополнение, то и E⁰ ∈ Σ.

Мера. Согласно определению, мера µ есть неотрицательная σ-аддитивная функция множеств, заданная на некоторой σ-алгебре Σ. Это означает, что класс Σ содержит пустое множество ∅ и все множество X, и для любого счетного набора непересекающихся множеств E₁,E₂,... ∈ Σ справедливо равенство

µ

. (23.2)

Подчеркну, что это равенство постулируется лишь для случая, когда E_k ∩ E_n = ∅ при k 6= n. На самом деле, оно справедливо и при несколько более широких условиях (см. ниже).

Множества, принадлежащие классу Σ, называются измеримыми, а точнее, µ-измеримыми. Это уточнение нужно, конечно, лишь в случае, когда мы имеем дело с несколькими мерами.

Замечу, что в современной математике в ходу и различные обобщения понятия меры — рассматриваются конечно-аддитивные меры, знакопеременные меры (почему-то не привился выразительный термин заряд), векторнозначные меры. Знакомясь с литературой, посмотрите, что означает в каждом случае термин мера.

Зачастую разрешается, чтобы мера µ принимала и бесконечное значение. Если µ(X) < ∞, то и мера любого измеримого множества конечна. В этом случае мера µ называется конечной.

Согласно принятой идеологии, множествами меры ноль мы пренебрегаем — не считаем, что два измеримых множества E и F различны, если они отличаются на множество меры ноль. В символах это означает, что µ(E∆F) = 0; напомню, что симметрическая разность E∆F определяется как E∆F = (E &bsol; F) ∩ (F &bsol; E).

Точно также не различаются отображения пространств с мерой, если их значения различны лишь для множества значений аргумента, которое имеет нулевую меру.

Очень часто то или иное свойство устанавливается не для всех точек пространства с мерой, а лишь для всех точек за исключением множества точек, имеющих меру ноль. В этом случае говорят, что данное свойство имеет место для почти всех точек или почти всюду, или для почти любой точки. Заметим, что понятие «почти всюду» зависит от выбора меры, поэтому, когда нужно быть более точными, говорят «µ-почти всюду» и т. д.

Говоря более строго, в теории пространств с мерой и их отображений, мы имеем дело не с множествами и не с отображениями, а с классами эквивалентных множеств и классами эквивалентных отображений. При этом всякое множество меры ноль рассматривается по сути, как пустое множество, потому что оно эквивалентно пустому. Соответственно, если µ(E₁ ∩ E₂) = 0, то измеримые множества E₁ и E₂ трактуются, как непересекающиеся. В частности, равенство (23.2) верно и в том случае, когда µ(E_k ∩ E<sub>`</sub>) = 0 при всех k и `, лишь бы k 6= `. (Проверьте это).

Отображения, сохраняющие меру. Отображение T : X → X называется измеримым, если (полный) прообраз T⁻¹(E) всякого измеримого множества E есть измеримое множество. Если отображение T взаимно однозначно, то можно сформулировать это определение в эквивалентной и чуть более наглядной форме. Именно, потребуем, чтобы отображение T переводило всякое измеримое множество в измеримое: E ∈ Σ → TE ≡ T(E) ∈ Σ.

Скажем, что измеримое и взаимно однозначное отображение T : X → X сохраняет меру µ, если для всякого E ∈ Σ

µ(TE) = µ(E). (23.3)

Для взаимно однозначных отображений равенство (23.3) можно записать в эквивалентной форме

µ(T⁻¹E) = µ(E) (23.4)

для всех E ∈ Σ. На самом деле, определение (23.4) имеет преимущества по сравнению с (23.3). Первое преимущество носит технический характер и состоит в том, что в дальнейших рассмотрениях гораздо чаще придется пользоваться именно равенством (23.4). Второе преимущество — более принципиально: определение (23.4) распространяется и на не взаимно однозначные отображения. При этом T⁻¹E означает полный прообраз — множество всех тех x ∈ X, которые под действием отображения T переходят в E, то есть, по определению,

T⁻¹E = {x : Tx ∈ E}.

Теорема 1 (теорема Пуанкаре о возвращении множеств). Пусть E — измеримое множество в пространстве с конечной мерой (X,Σ,µ), причем µ(E) > 0. Пусть T : X → X — отображение, сохраняющее меру µ. Тогда найдется такое натуральное n, что (см. рис. 12)

µ(TⁿE ∩ E) > 0. (23.5)

Доказательство. Рассуждая от противного, предположим, что для всех n = 1,2,...

µ(TⁿE ∩ E) = 0. (23.6)

Рис. 12

Тогда из (23.6) последует, что множества T^kE и TⁿE тоже имеют пересечение меры ноль: µ(T^kE ∩ TⁿE) = 0 для всех натуральных k и n при k 6= n. Для определенности будем считать, что k < n. Тогда

µ(T^kE ∩ TⁿE) = µ(T^k(E ∩ T^n−kE)) = µ(E ∩ T^n−kE) = 0. (23.7)

Мы учли, что T^k сохраняет меру µ, как и отображение T, а затем воспользовались равенством (23.6).

Таким образом, мы построили последовательность измеримых, попарно непересекающихся множеств E, TE, T²E,.... Все они имеют одну и ту же меру: µ(T^kE) = µ(E) = m > 0. Но отсюда следует равенство

µ

(23.8)

для любого n = 1,2,... (мы считаем, что T⁰ = id). Так как мера любого подмножества в X не превосходит µ(X), получаем

nm < µ(X). (23.9)

Ввиду конечности меры µ, это неравенство не может выполняться для всех натуральных n. Полученное противоречие показывает, что равенство (23.6) при некотором n нарушается. Теорема доказана.

• Замечу, что на последнем шаге доказательства мы воспользовались аксиомой Архимеда. Это он в своей работе «Псаммит, или исчисление песчинок» установил, что выбрав любую единицу измерения, скажем, веса или длины (у нас это m), можно для любого сколь угодно большого числа (у нас это µ(X)) найти столь большое n, что неравенство (23.9) будет нарушено. В этой работе Архимед очень близко подошел к открытию позиционной системы счисления (многие, самые крупные математики, считают, что это было величайшим открытием за всю историю науки). Конечно, сейчас все это очевидно, но кто-то должен был первым это понять. Это сделал Архимед.

Английский историк Арнольд Тойнби написал работу, в которой попытался предугадать, как развивалось бы человечество, если бы Архимед действительно сделал это открытие. Получилось, что развитие техники пошло бы несравненно быстрее, возможно, она развилась бы в других странах, и мир сейчас был бы совсем иным.