Математические модели естествознания (стр. 49 из 64)

Отсюда вытекает важное для статистической механики следствие: если векторное поле v = v(x) соленоидально, а ρ(x) — некоторый интеграл уравнения (24.1), то Φ(ρ) является решением уравнения Лиувилля (а также, конечно, и интегралом) при любой гладкой функции одного переменного Φ.

Стоит подчеркнуть, что, существование инвариантной плотности, как и существование нетривиального интеграла, есть весьма специальное свойство дифференциального уравнения — вообще говоря, дифференциальное уравнение в Rⁿ инвариантных плотностей не имеет (см. упражнения 4 и 5).

Несжимаемость фазовой жидкости для гамильтоновой системы

В случае гамильтоновой системы (см. (20.14))

(24.25)

уравнение Лиувилля (24.12) принимает вид

. (24.26)

Надеюсь, Вас не затруднит, что первые n переменных 2n-мерной системы (24.25) обозначаются через q₁,...,q_n, а остальные — через p₁,...,p_n.

Припомнив определение скобки Пуассона (20.38), можем записать уравнение (24.26) в компактной форме

. (24.27)

Физики обычно называют уравнением Лиувилля именно формулу (24.27) или (24.26). Это уравнение даже в общем случае гамильтониана H(q,p,t) всегда имеет постоянное стационарное решение. Таким образом, плотность ρ = 1 инвариантна. Фазоваяжидкостьгамильтоновойсистемынесжимаема. Этот вывод полагается в основу статистической механики, которой мы скоро станем заниматься.

Вероятностная трактовка уравнения Лиувилля и инвариантной плотности

Рассмотрим снова задачу Коши (24.1)–(24.2). Предположим теперь, что a — случайная точка в Rⁿ, и ее случайное распределение задается

25 Распределение Гиббса

плотностью вероятности ρ₀(a). При этом считаем, что дальнейшее движение точки уже не является случайным, а происходит в соответствии с дифференциальным уравнением (24.1). Это означает, что плотность вероятности ρ(x,t) в момент времени t удовлетворяет уравнению (24.7). Но из уравнения (24.7) следует, как мы уже установили, уравнение Лиувилля (24.12). Таким образом, мы приходим к важному выводу.

Если случайное распределение начальных точек a определяется плотностью вероятности ρ₀(a), причем дальнейшее движение, когда точка a уже зафиксирована, определяется дифференциальным уравнением (24.1), то в момент времени t соответствующая плотность вероятности ρ(x,t) есть решение уравнения Лиувилля (24.12) с начальным условием ρ(x,0) = ρ₀(x).

Упражнения

1. Пусть D — ограниченная область с гладкой границей S. Предполо-

жим, что гладкое в замкнутой области D поле v(x,t) для любого t касается поверхности S (имеет на S нулевую нормальную компоненту). Докажите, что в этом случае задача Коши (24.1)–(24.2) глобально однозначно разрешима. Докажите также, что в случае неограниченной области D это утверждение становится уже неверным, но будет все-таки верным, если на бесконечности поле v растет не быстрее, чем линейно.

2. Применяя формулу дифференцирования определителя по параметру, докажите, что якобиан

, где x = x(a,t) — решение задачи

Коши (24.1)–(24.2), удовлетворяет уравнению

3. Докажите формулу

div ρv = ρdiv v + v · ∇ρ

и установите совпадение уравнений (24.12) и (24.13). 4. Докажите, что скалярное уравнение

x˙ = −x

не имеет инвариантной плотности.

5. Какими свойствами должен обладать спектр n × n матрицы A, чтобы линейное дифференциальное уравнение x˙ = Ax в Rⁿ допускало инвариантную плотность. (Ответ покажет Вам, сколь редким свойством является наличие инвариантной плотности.)

25. Распределение Гиббса

Поскольку гамильтониан H есть интеграл гамильтоновой системы (??), а фазовая жидкость гамильтоновой системы несжимаема, то H = H(q,p) является решением уравнений Лиувилля. Тогда и функция ρ = ρ(H) = ρ(H(q,p)) также удовлетворяет уравнению Лиувилля. Потребуем, чтобы инвариантная плотность ρ была вероятностной, то есть, чтобы выполнялось равенство Z

ρdx = 1. (25.1)

R2n

Здесь dx = dq dp — элемент объема фазового пространства. Возможно, что конфигурационным пространством системы оказывается не все Rⁿ, а область D ⊂ Rⁿ. Тогда фазовое пространство есть D×Rⁿ, и вместо (25.1) должно быть выполнено

Z

ρdx = 1. (25.2)

D×Rⁿ

При столь слабом ограничении существует обычно бесконечно много инвариантных плотностей вида ρ = ρ(H). Сейчас мы опишем принцип выбора единственной инвариантной плотности посредством предположения о максимальном хаосе в системе. Следующий ниже вывод появился лишь в середине XX-го века, сам Гиббс рассуждал иначе [9].

Дальше для определенности считаем, что фазовое пространств есть R²ⁿ.

Энтропия вероятностной системы. Рассмотрим систему, которая может принимать n состояний, причем вероятность j-го состояния есть p_j. Энтропия S этой системы по определению дается равенством

. (25.3)

Если p_j = 0 для некоторого j, то будем считать, что p_j lnp_j = 0, и это слагаемое в (25.3) можно пропустить.

Энтропия является мерой беспорядка (хаоса, неопределенности в системе), лишь постоянным множителем ^log₂ e она отличается от информации по Клоду Шеннону, поскольку в теории информации приняты двоичные логарифмы.

Естественным обобщением (25.3) на случай непрерывного распределения с плотностью ρ служит равенство

(25.4)

В случае условия (25.2) следует интегрировать по D × Rⁿ.

Выберем среди всех инвариантных плотностей ρ(H) ту, которая доставляет максимум энтропии S при дополнительном условии постоянства средней энергии системы

(25.5)

Здесь E — заданная средняя энергия.

Мы пришли к задаче на условный экстремум. Решаем ее хорошо известным Вам методом Лагранжа. Вводим гладкую деформацию _ρ˜(x,ε) искомой функции ρ и определяем соответствующую этой деформации вариацию

.

Варьируя функционал S и полагая δS = 0, получаем равенство

Z

(lnρ + 1)δρdx = 0. (25.6)

R2n

Это равенство выполняется, однако, не для произвольных вариаций δρ, а лишь для таких, которые удовлетворяют дополнительным условиям, выводимым посредством варьирования условий связи (25.1) и (25.5)

Z

δρdx = 0, (25.7)

R2n

Z

Hδρdx = 0. (25.8)

R2n

Умножая (25.7) на постоянную λ, а равенство (25.8) — на µ, и складывая с

(25.6), придем к равенству

Z

(lnρ + 1 + λ + µH)δρdx = 0. (25.9)

R2n

При этом множители Лагранжа λ и µ можно считать выбранными таким образом, что условия связи (25.1) и (25.5) выполнены, так что равенство (25.9) выполняется уже для произвольной функции δρ. Отсюда следует равенство

lnρ + 1 + λ + µH = 0. (25.10)

В итоге приходим к распределению Гиббса

. (25.11)

Мы всего лишь изменили обозначения констант, положив A = e^−1−λ,

1

B =

. Постоянные A и B должны быть найдены из условий связи (25.1)

µ и (25.5). В частности, из условия нормировки (25.1) выводим

(25.12)

Равенство (25.5) перепишется теперь в виде

(25.13)

Сделаем теперь обычные для статистической механики предположения о гамильтониане H. Разумеется, в каждом конкретном случае их следует проверять перед тем, как применять дальнейшие выводы статистической механики.

1^◦. Функция H ограничена снизу. Поскольку гамильтониан определен с точностью до произвольной аддитивной постоянной, мы можем и будем считать, что H(p,q) ≥ 0 всюду.

2^◦. Интеграл (25.12) сходится при любом B > 0.

3^◦. Функция E(B) на луче B > 0 строго монотонно возрастает, изменяясь от нуля (при B → 0) до +∞ (Рис. 14)

Из предположения 3^◦ следует, что при любом заданном E > 0 из уравнения (25.13) однозначно находятся значения B. Тогда P(B) определяется однозначно равенством (25.12). Замечу, что в проблемах, связанных с фазовыми переходами, встречаются гамильтонианы, для которых такой однозначности нет.