Математические модели естествознания (стр. 5 из 64)

Напомню, что множество первой категории определяется тем условием, что оно представимо в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. Это одно из формальных определений «пренебрежимо малого» множества. Другие определения основываются на понятиях мощности, размерности, либо меры и вероятности. Подробнее о множествах первой и второй категории можно прочитать в любой книжке по теории функций вещественного переменного, например, [38], [1] или [30]. Множество называется множеством второй категории, если его дополнение в пространстве имеет первую категорию. Таким образом, множество второй категории — это массивное, большое множество, заполняющее подавляющую часть всего пространства (боюсь говорить «почти все» пространство, потому что этот термин захвачен теорией меры).

Хотя результат Орлича показывает, что гладкость функции f имеет мало отношения к единственности решения задачи Коши (или поля F), все известные теоремы единственности основываются на тех или иных условиях некоторой регулярности функции f по переменной x.

Теорема единственности. Пусть, в дополнение к условиям теоремы Пеано, поле F удовлетворяет условию Липшица:

|F(x⁰,t) − F(x⁰⁰,t)| ≤ L|x⁰ − x⁰⁰|

с некоторой константой L > 0, хотя бы в некоторой окрестности начальной точки t = 0, x = x₀ в R × X. Тогда решение задачи Коши

(3.1)–(3.2) единственно.

Напомню, что решения x⁽¹⁾(t) и x⁽²⁾(t) не считаются различными, если они совпадают в пересечении их интервалов определения. Немного усилил эту теорему единственности американский математик Осгуд, который установил, что условие Липшица можно заменить условием Осгуда

|F(x⁰,t) − F(x⁰⁰,t)| ≤ _ω(|x⁰ − x⁰⁰|), (3.5)

где ω(s) — функция одной переменной, заданная для малых положительных s, принимающая положительные значения при s > 0 и такая, что удовлетворяет условию

. (3.6)

Верхний предел здесь несущественен. Легко заметить, что при ω(s) = Ls, условие Осгуда превращается в условие Липшица. Если же взять ω(s) = Ls^α при 0 < α < 1, то условие Осгуда нарушается — и в самом деле, можно указать такие уравнения, для которых единственности нет. Это отнюдь не означает, что условие Осгуда необходимо для единственности — для уравнения в упражнении 5 оно нарушено, а единственность, тем не менее, имеет место.

Интересно еще заметить, что если уж задача Коши для уравнения (3.1) имеет более одного решения, то на самом деле существует целое непрерывное семейство решений, образующее континуум (связное компактное множество), называемый интегральной воронкой. Это — теорема Кнезера, см. [49].

Глобальная разрешимость. Теорема об альтернативе глобальной разрешимости. Простейшие примеры показывают, что для многих дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, по крайней мере, некоторые решения невозможно продолжить на всю вещественную ось времени или даже на полуось t ≥ 0. Более того, такую ситуацию следует считать типичной.

Проведите такой эксперимент. Введите в любую стандартную программу для решения систем дифференциальных уравнений «какую попало» систему, скажем 2-го или 3-го порядка или даже скалярное дифференциальное уравнение — используйте для написания правых частей полиномы, экспоненты, тригонометрические функции и т.д. Задайте начальные данные (тоже «какие попало»). Берусь предсказать результат такого эксперимента. Решение за конечное время уйдет на бесконечность, и вычисления остановятся. Ну, может быть (это очень невероятно), решение выйдет на некоторое равновесие. Тогда измените начальные данные, и решение уйдет на бесконечность.

В известной мне литературе нет строгих теорем о том, что отсутствие глобальной разрешимости, наличие взрывающихся решений является типичным. Некоторые такие теоремы, правда, довольно частного характера, мне известны, и я рассказывал о них в лекциях. Думаю, что исследование общих условий глобальной разрешимости эволюционных задач для различных классов дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных (а также и интегро-дифференциальных уравнений) представляет собой актуальную и многообещающую область исследования.

Особенно интересно связать глобальную разрешимость с фундаментальными законами физики. Я даже думаю, что само по себе требование глобальной разрешимости является одним из наиболее фундаментальных физических законов. Если будет развита соответствующая математическая теория, то можно ожидать, что некоторые физические законы окажутся следствием постулата глобальной разрешимости.

Здесь ограничусь лишь одним примером для иллюстрации этой общей идеи. Рассмотрим скалярное дифференциальной уравнение с полиномиальной правой частью

x˙ = P(x), P(x) = a₁x + a₂x² + ··· + a_nxⁿ, (3.7)

здесь a₁, a₂, ...,a_n — вещественные постоянные. Тогда (докажите это!) для глобальной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы этот полином был линейным, то есть, чтобы выполнялись равенства a₂ = a₃ = ··· = a_n = 0. Иными словами, когда это условие не выполнено, при некоторых начальных данных решение уходит на бесконечность (на самом деле, либо для всех начальных значений x(0), либо для значений на некотором луче). Можно сказать, что пространство параметров a₁,a₂,...,a_n есть Rⁿ, и каждому уравнению (3.7) отвечает точка этого пространства. Так вот, глобально разрешимым уравнениям отвечает прямая в Rⁿ — «очень тощее» множество. Его коразмерность есть n − 1.

Есть еще интересный и не слишком хорошо изученный класс дифференциальных уравнений, для которого почти все начальные данные (то есть все, за исключением множества лебеговой меры ноль) отвечают решениям, определенным на всей полуоси t ≥ 0 (или даже для всех t). Интересные результаты о таких уравнениях имеются в работе А.Я. Повзнера [36]. В этой статье приведен довольно громоздкий пример такой системы уравнений, для которой, действительно, глобально продолжимы почти все (но не все) решения. Вот простой пример. Рассмотрим комплексное дифференциальное уравнение

z˙ = z². (3.8)

Его решение с начальным условием z(0) = z₀ есть

. (3.9)

Очевидно, что для невещественных z₀ решение (3.9) определено для всех t. Если же z₀ — вещественно, то при z₀ > 0 решение (3.9) можно определить лишь на интервале

, а если z₀ < 0, то лишь на интервале . Замечу, что комплексное уравнение (3.8) эквивалентно (положим ) системе второго порядка

x˙ = x² − y², y˙ = 2xy.

Выходит, что глобально продолжимы все решения этой системы кроме тех, которые отвечают начальным точкам (x₀,0), x₀ 6= 0.

Очень интересно было бы исследовать общие классы систем уравнений с аналогичным поведением решений, для которых глобально продолжимы все решения, начинающиеся вне некоторого множества положительной коразмерности. О таких уравнениях, пожалуй, почти ничего сейчас неизвестно.

Во всех учебниках по обыкновенным дифференциальным уравнениям после доказательства классических теорем существования и единственности решения задачи Коши следует обсуждение вопроса о возможности продолжить решение на больший интервал. Обычно, однако, это обсуждение остается как-то в тени. Я сейчас сформулирую основную теорему об альтернативе глобальной разрешимости задачи Коши. Представим себе, что мы применяем метод рассуждения от противного. Мы произносим фразу: допустим, что решение невозможно продолжить на всю полуось t ≥ 0. Что делать дальше? Следующая теорема подсказывает нам план дальнейших действий.

Теорема1(обальтернативеглобальнойразрешимости).Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения в Rⁿ

x˙ = F(x,t), x(0) = x₀. (3.10)

Предположим, что выполнены условия классических теорем существования и единственности: F — непрерывная вектор-функция, заданная для всех (x,t) ∈ Rⁿ × R, и существуют непрерывные про-