Математические модели естествознания (стр. 51 из 64)
Итак, средняя внутренняя энергия идеального газа — системы n невзаимодействующих частиц — линейно зависит от температуры T и от числа частиц, а от объема не зависит.
Примечательно, что энергия E не зависит и от масс частиц, то есть идеальный газ может быть смесью любого числа различных компонент. Допускается даже, что каждая компонента может быть представлена лишь одной молекулой.
Формула (26.13) позволяет найти теплоемкость идеального газа. Вообще, теплоемкость c определяется как производная
. Чтобы избежать недоразумений, сразу скажу, что в общей ситуации теплоемкость не является функцией состояния, а является, скорее, функцией процесса. Например, приходится различать теплоемкости при постоянном давлении (cp) и при постоянном объеме (cV ). В данном случае все проще. Дифференцируя равенство (26.13), получаем
(26.14)Мы пришли к выводу, что теплоемкость идеального газа зависит лишь от числа частиц и не зависит ни от объема, ни от температуры.
Средняя кинетическая энергия частицы. Вычислим среднюю кинетическую энергию j-ой частицы. Это означает, что нужно найти математическое ожидание наблюдаемой
. Напомню, что для любой наблюдаемой ϕ = ϕ(q,p) ее среднее определяется равенством 
(26.15) Соответственно получаем 
Это выражение, как и интеграл, определяющий P(B), можно представить в виде произведения интегралов двух типов. Интегралы по области D от 1 дают множитель V n. Остальные интегралы вычисляются по R3, причем подынтегральное выражение в i-ом множителе зависит лишь от pi. Теперь заметим, что, за исключением j-го множителя в интеграле (26.16), все остальные множители — такие же, как и в интеграле (26.3). Чуть поразмыслив, мы можем написать формулу
. (26.17)Знаменатель мы уже вычисляли. Он представляется в виде произведения трех гауссовых интегралов, что дает равенство
, γj2 = 2mjB = 2mjkT. (26.18)Числитель в (26.17) сначала разбиваем на сумму трех интегралов в соответствии с равенством
. Эти слагаемые получаются друг из друга циклической перестановкой индексов компонент 
, а потому одинаковы. Таким образом, имеем
(26.19)Мы еще заменили pj на p — переменную интегрирования можно обозначить как угодно. вещественной оси. Из них два гауссовы, и их произведение естьИнтеграл (26.19) представим в виде произведения трех интегралов по(γj√π
)2.Третий множитель имеет вид (p1 заменяем на z)
. (26.20)Подставляя полученные значения интегралов в (26.17), имеем
. (26.21)Окончательно получаем
(26.22)Мы пришли к важному выводу: средняя кинетическая энергия движения частицы (молекулы) есть температура идеального газа — с точностью до множителя
, отвечающего переходу от механических единиц измерения к тепловым.Существенно также, что правая часть в (26.22) не зависит от массы частицы.
И еще один интересный вывод можно сделать, сопоставляя формулы (26.22) и (26.13). Мы видим, что энергия равномерно распределяется по частицам независимо от их масс. Более того, коэффициент 3 в (26.22) отнюдь не случаен — это размерность пространства R3, число степеней свободы одной частицы. Фактически мы уже использовали то обстоятельство, что каждая из компонент
вносит один и тот же вклад в среднюю кинетическую энергию. (См. также упражнение 3).Это частный случай довольно общего закона статистической механики о равнораспределении (equipartition) энергии по степеням свободы. Хотя этот принцип и не всегда выполняется, он имеет немалое эвристическое значение. В том случае, когда гамильтониан представляет собой сумму квадратов параметров, определяющих состояние системы, он превращается в строгую теорему, один частный случай ее мы фактически доказали.
Дальше мы рассмотрим и другие случаи, когда этот принцип работает.
Формула (26.22) является основой (ни более, ни менее!) механической теории теплоты, объясняя механический смысл главной термодинамической величины — температуры.
Флуктуация энергии. Статистическая механика ставит и решает также принципиально новые задачи, позволяя, в частности, исследовать флуктуации. После того как вычислено математическое ожидание, естественно заняться дисперсией случайной величины
. Согласно определению, дисперсия D(Hj) дается формулой 
D(Hj) = D(Hj − Hj)2E. (26.23)
Отсюда непосредственно следует формула
D(Hj) = DHj2E − H2j. (26.24)Первое слагаемое вычисляем при помощи приема, который был применен
при вычислении среднего Hj. Имеем (сравните с формулой (26.17))
. (26.25) Мы уже знаем, что знаменатель в этой формуле есть (γj√π)3. Для вычисления числителя вводим сферические координаты (r, ϕ, θ) с центром в нуле и замечаем, что подынтегральное выражение не зависит от ϕ и θ. Поэтому числитель выражается формулой
Множитель 4π — площадь единичной сферы (появился после интегрирования по ϕ и θ). Последний интеграл посредством интегрирования по частям сводится к гауссову и легко вычисляется, что и сделано (проверьте!). Подстановка в (26.25) дает равенство
. (26.27)Теперь из (26.24) получаем
. (26.28)Средняя квадратичная флуктуация определяется как корень квадрат-
ный из дисперсии, в данном случае это pD(Hi). Ее отношение к математическому ожиданию назовем относительной (среднеквадратичной) флуктуацией. Вычисляя ее, получаем
. (26.29)Как видим, это довольно большая величина:
. Выходит,вполне можно ожидать изменения кинетической энергии частицы-молекулы на 80%. Не противоречит ли это нашему заявлению, что флуктуации макроскопических величин весьма малы? Нет, не противоречит, потому что энергия одной молекулы не является макроскопической величиной. Если мы рассмотрим энергию Em выбранного произвольного набора m частиц, то согласно принципу равнораспределения найдем, что
(26.30)Этот результат не зависит, конечно, от того, какие именно m частиц выбраны. Далее заметим, что для независимых случайных величин, каковыми являются H1,...,Hm, дисперсия суммы равняется сумме дисперсий
. (26.31)На самом деле, для справедливости этой формулы достаточно несколько более слабого свойства случайных величин, чем независимость, см. упражнение 4.
Применяя формулу (26.28), из (26.31) выводим
(26.32)Соответственно для среднеквадратичной флуктуации получаем
(26.33)27 Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов
а для относительной среднеквадратичной флуктуации