Математические модели естествознания (стр. 52 из 64)
. (26.34)Из этой формулы видим, что для макроскопических количеств газа, скажем, при m ∼ 1020 относительная флуктуация очень мала, вряд ли даже может быть непосредственно измерена в опыте.
27. Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов
Малость постоянной Больцмана наводит на мысль применить для вычисления средних (по формуле (26.15)) асимптотический метод Лапласа [42]. Сейчас я, не вдаваясь в доказательства, приведу вывод основных формул метода. Затем мы их применим к задачам статистической механики. Рассмотрим интеграл
(27.1)Здесь δ — малый положительный параметр, и нас интересует асимптотическое поведение этого интеграла при δ → 0. Будем предполагать, что функция H(x) — достаточно гладкая, ограничена снизу и растет на бесконечности, например, при больших x имеется оценка снизу
H(x) ≥ C|x|α, (27.2)
где C и α — известные положительные константы.
Относительно функции ϕ(x) также предположим, что она гладкая и растет на бесконечности не быстрее, чем степенным образом, так что
|ϕ(x)| ≤ C1|x|β, (27.3)
где C1 и β — известные положительные константы. В принятых условиях интеграл (27.1) существует при любом δ > 0 (возможны, конечно, и иные условия).
Предположим, что x0 — точка строгого абсолютного минимума функции H. Более того, допустим, что разложение Тейлора функции H в окрестности точки x0 имеет вид
(27.4)причем опущены члены порядка 3 и выше, а второй дифференциал положительно определен. В координатах формула (27.4) запишется в виде
Дальше нам понадобится разложение функции ϕ
(27.6)Для вывода асимптотической формулы Лапласа сначала устанавливается, что главный член асимптотики не изменится, если в (27.1) перейти от интегрирования по всему пространству Rn к интегрированию по любой окрестности точки x0 фиксированного, не зависящего от δ размера.
Это значит, что мы собираемся выбросить из интеграла (27.1) величину
(27.7)где η — произвольно фиксированное положительное число. Применяя неравенства (27.2) и (27.3), получим оценку
(27.8)Положим |x − x0| = r. Заметим, что dx = rn−1drdS, где dS — элемент площади единичной сферы Sn−1 с центром в точке x0. Поскольку подынтегральное выражение в (27.8) зависит только от r, из (27.8) следует неравенство
(27.9)где σn−1 есть площадь сферы Sn−1. Сделаем в последнем интеграле замену r = δ1/αρ. В результате получим
. (27.10)Интеграл в этом неравенстве при δ → 0 затухает быстрее δq при любом q > 0. Вы легко убедитесь в этом, применив правило Лапиталя для вычисления предела отношения нитеграла и величины δq при δ → 0. Получается, что для любого p > 0 имеет место предельное соотношение
. (27.11)Этот результат справедлив при любом η > 0, лишь бы число η было фиксировано и не зависело от δ.
Положим J(δ) = J1(δ) + K(δ), где
(27.12)Дальше мы увидим, что интеграл J1(δ) допускает степенную асимптотику при δ → 0, которая к тому же от величины η не зависит. Ввиду (27.11), интеграл J(δ) имеет ту же самую асимптотику, что и J1(δ).
Пользуясь произволом в выборе η, полагаем его столь малым, чтобы можно было воспользоваться для приближения функций H и ϕ их разложениями Тейлора (27.5) и (27.6). Ограничиваясь первыми членами, в результате получим
Несложное обоснование того факта, что отбрасывание остаточного члена не влияет на главные члены асимптотики, опущу.
Обозначим через A оператор Гесса функции H в точке x0:
. (27.14)Применяя это обозначение и вновь переходя в (27.13) к интегрированию по Rn, приходим к асимптотике
(27.15)Мы еще сделали замену x − x0 → x в последнем интеграле. Неизменность степенной асимптотики при переходе от интегрирования по шару к интегрированию по всему Rn доказывается точно также, как и выше при выводе оценки интеграла K(δ).
Следующий шаг состоит в том, что в последней формуле мы возвращаемся к интегрированию по Rn. Конечно, нужно доказать, что добавление интеграла по внешнему шару не меняет главного члена асимптотики. Предполагая, что это сделано, придем к асимптотике
(27.16)Здесь для вычисления последнего интеграла применяется следующий стандартный прием. Квадратичную форму можно ортогональным преобразованием привести к сумме квадратов: сделать замену x = Uy, так что в новых переменных
. (27.17)Здесь λ1,...,λn — собственные числа оператора Гесса A (27.14), которые, по предположению, положительны. Ортогональный оператор U сохраняет объемы, так что |detU| = 1. Поэтому dx = dy, и мы приходим к равенству
(27.18)Последний интеграл представляется в виде произведения гауссовых интегралов
. (27.19)В результате получаем
. (27.20)Мы использовали тот факт, что detA = λ1 · ... · λn.
Теперь окончательно приходим к асимптотике при δ → 0:
. (27.21)В случае, когда ϕ(x0) 6= 0, это асимптотическое равенство означает, что при δ → 0 отношение левой и правой частей выражения (27.21) стремится к единице.
Случай ϕ(x0) = 0. Если же ϕ(x0), то формула (27.19) говорит лишь, что J(δ) → 0 при δ → 0. Мы можем уточнить асимптотическое поведение интеграла J(δ), прибавляя следующие члены разложения функции ϕ(x). Нетрудно видеть, что члены первой степени на дают вклада в главный член асимптотики. Если привлечь члены второй степени и провести выкладки, аналогичные предыдущим, то получим
(27.22)где B — матрица Гесса функции ϕ
(27.23)и через нее выражается второй дифференциал функции ϕ: d2ϕ(x0)ξ2 = (Bξ,ξ), где ξ ∈ Rn.
Вычислим интеграл
(27.24)Снова сделаем замену переменной x = Uy, приводящую форму (Ax,x) к сумме квадратов, см. (27.17). Интеграл S(δ) запишется тогда в виде
(27.25) Пусть ϕ1,...,ϕn — ортонормальная система собственных векторов оператора A, так что Aϕj = λjϕj, причем собственные значения λj все положительны. Введем векторы ψj, полагая ψj = U−1ϕj. Произвольный вектор x ∈ Rn допускает разложение
. (27.26) | Соответственно | n y = U−1x = Xyjψj, | (27.27) |
j=1
и интеграл (27.25) запишется в виде
(27.28)Теперь заметим, что интегралы от слагаемых, отвечающих индексам j 6= k, исчезают. Это происходит потому, что соответствующий интеграл по Rn выражается в виде произведения одномерных интегралов, и при этом целых два множителя — интегралы по yj и yk — нулевые. Это интегралы от нечетных функций. Выражение для S(δ) упрощается и принимает вид