Математические модели естествознания (стр. 53 из 64)
(27.29)С такими интегралами мы уже умеем обращаться. Действуя так же как при вычислении интеграла (26.16), получаем
. (27.30)Для вычисления первого множителя в числителе воспользуемся формулой (27.20). В результате получаем
. (27.31)Окончательно приходим к формуле
. (27.32)Замечу, что для квадратичных гамильтонианов, с которыми мы до сих пор и имели дело, занимаясь идеальным газом и твердым телом, полученные здесь асимптотические равенства (27.21) и (27.32) превращаются в точные.
Имеется и другой, идейно даже лучший способ вычисления интеграла (27.24). Ради краткости опустим коэффициент
в следующих выкладках(в окончательном результате заменим потом
). Воспользуемся очевидным равенством
(27.33)Для вычисления последнего интеграла воспользуемся формулой (27.20) при 2δ = 1. Имеем
. (27.34)Заметим, что при малых t оператор A − tB остается положительно определенным, так что наши действия законны. Отметим формулу (см. ниже упражнения 5 и 6)
. (27.35)При помощи (27.34) и (27.35) получаем
. (27.36)Возвращаясь к (27.22), с применением (27.36), получаем асимптотическую формулу для интеграла J(δ), определенного равенством (27.1) в случае
ϕ(x0) (не забывая заменить
sp(A−1B). (27.37)Упражнения
1. Докажите, что максимум энтропии вероятностной системы с n состояниями достигается при
. При этом S = lnn.2. Докажите, что равенство (25.21) при постоянных B1, B2, B, A может выполняться для всех p1, q1, p2, q2, лишь в случае B1 = B2 = B, если оба гамильтониана нетривиальны (не сводятся к постоянным).
3. Докажите, что для идеального газа выполняется равенство
(27.38)4. Пусть ξ1,...,ξm — случайные величины (т.е. функции на пространстве (X,µ) с вероятностной мерой µ). Если условие hξiξji = 0 выполнено всякий раз, когда i 6= j, то справедлива формула для дисперсий
.5. Докажите, что для любого линейного оператора B : Rn → Rn справедлива формула
Для этого припомните, как выводится формула Лиувилля для вронкскиана, и примените правило дифференцирования определителей.
6. Докажите, что если A и B — линейные операторы в Rn, причем, оператор A обратим, то справедлива формула
.Здесь нужно воспользоваться результатом предыдущего упражнения и тем фактом, что определитель произведения операторов равен произведению определителей операторов.
7. Вычислите интеграл
Z
(Bx,x)2e−(Ax,x)dx,
Rn
где A — положительно определенный оператор.
28 Градиентные системы
8. Докажите равенство
Z
(Bx,x)(Cx,x)e−(Ax,x)dx
Rn
= detA hsp(A−1B)sp(A−1C) − sp(A−1BA−1C)i
9. Докажите непосредственно, что выражения (27.28) и (27.36) совпадают.
28. Градиентные системы
Градиентное уравнение в конечномерном евклидовом, или гильбертовом пространстве H имеет вид
x˙ = grad S(x) (28.1)
с известной, достаточно гладкой функцией S, называемой потенциалом градиентного уравнения. Поле G(x) называется потенциальным, если его можно представить в виде G(x) = grad S(x) с некоторой функцией S(x). Основное свойство такого уравнения состоит в том, что для всякого решения x(t) функция S(x(t)) монотонно возрастает. Для доказательства достаточно вычислить производную S˙ в силу заданного уравнения движения (28.1). В результате получаем равенство
grad S(x(t))|2 ≥ 0. (28.2)
Таким образом, S есть возрастающая функция Ляпунова уравнения (28.1).
Второе начало термодинамики состоит в том, что энтропия замкнутой термодинамической системы со временем возрастает. Поэтому можно сказать, что градиентные уравнения описывают поведение систем типа замкнутых термодинамических, причем потенциал S играет роль энтропии. К этому можно добавить, что формула (28.2) вместе с ее интерпретацией, сохраняется и для более общей системы вида
| x˙ = grad S(x) + F(x), если для всех x ∈ H выполнено соотношение | (28.3) |
| (grad S(x),F(x)) = 0. | (28.4) |
Равенство (28.4) означает, что векторные поля grad S и F образуют косимметрическую пару. Интересный класс уравнений вида (28.3) представляют дифференциальные уравнения
x˙ = grad S(x) + A(x)grad S(x), (28.5)
где линейный оператор A(x) может зависеть от x нелинейно, однако для каждого x ∈ H является кососимметричным. Напомню, что оператор A : H → H называется кососимметричным, если для всех x ∈ H выполнено равенство (Ax,x) = 0. В этом случае A∗ = −A.
Хороший пример уравнения (28.5) дает уравнение в R3 вида
x˙ = grad S(x) + ω(x) ∧ grad S(x). (28.6)
Обобщением уравнения (28.5) может служить уравнение
x˙ = grad S(x) + Γ(x)grad S(x), (28.7)
где Γ(x) есть гироскопический оператор, равенство (Γ(x)ξ,ξ) = 0 выполняется для всех x ∈ H, ξ ∈ H.
Дальше мы рассмотрим некоторые эффекты, производимые дополнительным слагаемым F в уравнении (28.3).
Восстановление потенциала по заданному полю
Если задано автономное дифференциальное уравнение
x˙ = G(x) (28.8)
в H, то несложно проверить является ли оно градиентным. Наиболее прямой путь состоит в следующем (см. также упражнения 2–4). Допустим, что G(x) = grad S(x). Фиксируем точку x0 ∈ H, и пусть x — произвольная точка пространства H. Рассмотрим отрезок, соединяющий точки x0 и x, т.е. множество точек x0 + ε(x − x0), где ε ∈ [0,1]. Далее положим x − x0 = u. Имеем
) = (grad S(x0 + εu),u). (28.9) 
(grad S(x0 + εu),u)dε (28.10)
Интегрируя по ε выводим равенство
Если известно, что поле G потенциально, то потенциал дается формулой
(28.11)Остается проверить, является ли в действительности построенная функция S(x) потенциалом данного поля G(x). Дифференцируя равенство (28.11), получаем
(28.12)для любого вектора v ∈ H. Это равенство можно также записать в виде
. (28.13)Мы использовали здесь тот факт, что линейный функционал (в частности, операцию скалярного умножения на вектор v) можно вносить под знак интеграла.
Отсюда видно, что отвечающее потенциалу S поле имеет вид
grad
. (28.14)Напомню, что градиент grad S(x) определяется требованием, чтобы для всех v ∈ H выполнялось равенство
(grad S(x),v) = S0(x)v. (28.15)
В итоге, получается, что поле G(x) потенциально, и построенная функция S(x) является потенциалом, в том и только в том случае, когда для любых x0 и x, принадлежащих H, выполняется равенство:
. (28.16)