Математические модели естествознания (стр. 55 из 64)

Многие физики без особых обоснований рассматривают чисто градиентные системы как типичные замкнутые термодинамические системы. Видимо поэтому укрепился предрассудок, что в замкнутой термодинамической системе, если уж равновесие устойчиво, то непременно имеет место монотонная устойчивость. Поэтому, когда Б.П. Белоусов в 1951 году обнаружил, что если слить в пробирку раствор солей церия, малоновой кислоты и серной кислоты, то возникает химическая реакция, при которой достигаемое в конце концов равновесие устойчиво колебательно, ему не поверили. Реакция Б.П. Белоусова, которую сейчас время от времени демонстрируют по телевидению, очень красива — раствор становится, то красным, то голубым.

Неприятно, хотя и поучительно, вспомнить, что рецензенты статьи Белоусова действовали так же, как церковники, которые отказывались взглянуть в зрительную трубу Галилея, чтобы лично убедиться, что на Солнце есть пятна. Зачем глядеть, когда и так было ясно, что никаких пятен нет и быть не может? Рецензенты статьи Белоусова тоже заранее знали, что колебательных реакций не бывает. Они нарушали основной принцип науки: факты — впереди теорий. Ведь только и нужно было подойти к своим полкам с реактивами и, глядя в текст Белоусова, смешать указанные им реагенты в нужных пропорциях. Церковь уже покаялась и оправдала Галилея, что же касается рецензентов Белоусова, то о них ничего неизвестно.

Статья Белоусова так и не была опубликована в серьезных физических и химических журналах. К счастью, С.Э. Шноль в Пущине понял важность этой работы, помог опубликовать реферат статьи в «Рефератах по радиационной медицине», издаваемых Институтом биофизики Министерства здравоохранения СССР, и поручил своему аспиранту А.М. Жаботинскому продолжить работу. За исследование колебательных химических реакций в 1980 году Белоусову и Жаботинскому была присуждена Ленинская премия (Белоусову — посмертно).

Упражнения

1. Пусть H = R³, потенциал

, а поле

. Проверьте, что уравнение grad S(x) = 0 в этом случае имеет решения, которые не являются решениями уравнения grad S(x)+F(x) = 0. Более того, последнее уравнение, вообще, не имеет решений. Попытайтесь обобщить этот пример.

2. Докажите, что для потенциальности гладкого поля G(x) в H необходимо и достаточно, чтобы для любого x производная G⁰(x) была симметричным оператором, т.е. выполнялось равенство

(G⁰(x)ξ,η) = (ξ,G⁰(x)η), ξ,_η ∈ H.

3. Докажите, что для потенциальности гладкого поля G(x) необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любой замкнутой кривой γ в H равнялся нулю:

.

Продумайте определение интеграла по кривой в H, заданной параметрическим уравнением x = c(t), 0 ≤ t ≤ 1. Докажите, что критерием потенциальности может также служить независимость интеграла по кривой, соединяющей две произвольные точки x₀ и x₁, от вида кривой (он должен зависеть лишь от x₀, x₁).

Замечание. Этот критерий сохраняет силу также для произвольной области в H, тогда как критерий упражнения 2 в части достаточности обобщается лишь на односвязные области в H. Подробности по поводу результатов упражнений смотрите в книге М.М. Вайнберга [6].

4. Пусть H = Rⁿ, и уравнение x˙ = G(x) в координатах имеет вид

x˙_i = G_i(x), i = 1,...,n.

Докажите, что поле G(x) потенциально в том и только в том случае, когда выполняется равенство

Приведите пример поля на плоскости R² в кольце r₁ < |x| < r₂, для которого эти условия выполнены, хотя поле не является потенциальным.

5. Выведите градиентное уравнение в частных производных, отвечающее потенциалу

где K — гладкая функция, D — область в Rⁿ.

6. Докажите, что в случае H = R³ оператор F(x) = _ω ∧ x (ω — постоянный вектор) — кососимметричен. Докажите, что его собственные значения суть 0 и ∓i|_ω|. Исследуйте устойчивость нулевого решения уравнения

u˙ = βu + _ω ∧ u.

7. Каковы будут последствия добавления к правой части уравнения (28.1) слагаемого εF(x) с малым параметром ε и функцией F, удовлетворяющей условию (28.4)?

8. Напишите общий вид уравнения в H, для которого заданная функция S(x) является функцией Ляпунова. Найдите также общий вид дифференциального уравнения, для которого функция S(x) является интегралом.

9. Найдите в Интернете описание истории открытия Белоусова и полюбуйтесь на анимацию реакции Белоусова–Жаботинского.

29. Малые колебания механической системы около

положения равновесия

Уравнения «малых колебаний» системы около положения равновесия получаются посредством линеаризации системы на заданном равновесии. Кавычки я поставил потому, что далеко не всегда, а лишь в случае устойчивого равновесия эти уравнения, действительно, описывают колебания. Вообще, если известно равновесие x₀ ∈ Rⁿ автономной системы

x˙ = f(x) (29.1)

в Rⁿ, то линеаризация уравнения (29.1) на равновесии x₀ — это довольно грубая операция. Она состоит в том, что мы полагаем x(t) = x₀ + u(t), а затем, подставляем это выражение в уравнение (29.1), и как говорили классики: «разлагаем правую часть уравнения в ряд Тейлора по степеням u, после чего отбрасываем все члены ряда, кроме линейных». Конечно, в этой классической формулировке предполагалась аналитичность векторного поля f(x), тогда как на самом деле достаточно C¹ –гладкости. Линеаризованное уравнение, называемое также иногда линеаризацией уравнения (29.1), записывается в виде

u˙ = Au, (29.2)

где A = f⁰(x₀) — линейный оператор, не зависящий от времени. В координатах он определяется матрицей

. Его правая часть отличается от правой части точного уравнения возмущений

u˙ = f(x₀ + u) (29.3)

на малую величину o(u) при u → 0, а если f ∈ C², то, точнее, на величину O(u²) при u → 0.

Заметим, что как точное уравнение возмущения (29.3), так и линеаризованное уравнение (29.2) имеют тривиальное решение u(t) ≡ 0, соответствующее равновесию x₀ уравнения (29.1).

В координатах уравнение (29.2) записывается в виде системы

(29.4)

где f_i — компонента поля f(x) = (f₁(x),...,f_n(x)).

Вполне аналогично строится уравнение, линеаризованное на произвольном решении x₀(t) более общего уравнения

x˙ = f(x,t). (29.5)

Предположим, что решение x₀(t) определено для всех t ≥ 0. Представим решение x(t) в виде x(t) = x₀(t) + u(t), слагаемое u(t) называется возмущением основного решения x₀(t). Подстановка в уравнение (29.5) дает уравнение возмущений в виде

u˙ = f(x₀(t) + u(t),t) − f(x₀(t),t). (29.6)

Заранее ясно, что уравнение возмущений имеет тривиальное решение u(t) ≡ 0. Линеаризация уравнения возмущений дает линейное уравнение, обобщающее (29.4)

u˙ = f⁰(x₀(t),t)u. (29.7)

Дальше мы будем, однако, заниматься в основном равновесиями.

Устойчивость по Ляпунову

Если задаться конкретным промежутком времени [0,T], то из общих результатов теории дифференциальных уравнений о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных можно заключить, что решение задачи Коши для уравнения (29.1), а также и для уравнения (29.2) с начальным условием u(0) = u₀, будет отличаться не более, чем на ε (ε > 0 и произвольно) от нулевого решения u = 0, если u₀ достаточно мало, точнее, если ku₀k < δ, где δ = δ(ε).

На самом деле, однако, как это впервые ясно осознал Ляпунов, важно, чтобы малость возмущения u сохранялась на бесконечном промежутке времени [0,∞).

Определение. Равновесие x₀ уравнения (29.1) называется устойчивым по Ляпунову, если выполнены следующие два условия:

1^◦) существует окрестность нуля в Rⁿ, скажем, шар B(0,ρ) радиуса ρ > 0 с центром в нуле, что задача Коши для уравнения (29.3) с начальным условием u(0) = u₀ имеет единственное решение u(t), определенное для всех t ≥ 0 при любом u₀ ∈ B(0,ρ);

2^◦) для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого начального поля u₀, имеющего столь малую норму, что ku₀k < δ, решение u(t) задачи Коши для уравнения (29.3) с начальным условием u(0) = u₀ удовлетворяет неравенству ku(t)k < ε для всех t ≥ 0.