Математические модели естествознания (стр. 58 из 64)

k

(ψ₁,...,ψ_n)). В результате получаем

. (29.27)

Поскольку M и A — симметричные операторы, числитель и знаменатель этой дроби вещественны (см. упражнение 3), причем знаменатель положителен.

Как известно из линейной алгебры, симметричный оператор M⁻¹A всегда имеет ортонормальный собственный базис, состоящий из собственных векторов ϕ₁,...,ϕ_n, которым отвечают вещественные собственные значе-

ния

. Выполняются равенства

Aϕ_j = _ω²_jMϕ_j, j = 1,...,n. (29.28)

Поскольку операторы A и M вещественны, собственные векторы ϕ_j можно также считать вещественными. Согласно формуле (29.22), каждому собственному значению _ω² отвечает пара решений e^±iωtϕ, называемых нормальными колебаниями, или нормальными модами.

Общее решение уравнения (29.20) можно представить в виде линейной комбинации нормальных колебаний:

n

u(t) = ^X c_je^iωjt_ϕj. (29.29)

j=−n

При этом мы полагаем ω−_j = −ω_j, ϕ−_j = ϕ_j. Для вещественных решений

. Здесь мы считаем, что c₀ = 0, а ω₀ и ϕ₀ не определены.

Решение (29.29) описывает колебания, когда все частоты ω_j вещественны, то есть, когда собственные числа _ω²_j положительны. Это соответствует тому случаю, когда оператор A положительно определен. Тогда и квадратичная форма d²V (q⁰)(u,u) = (Au,u) положительно определена. По теореме Лагранжа–Ляпунова, равновесие q⁰ в этом случае устойчиво. Заметим, что и интеграл энергии

(29.30)

есть положительно определенная форма от u и u˙.

Если разыскивать решение уравнения (29.20) в виде

, (29.31)

то для координаты x_j в собственном базисе получим уравнение гармонического осциллятора

x¨_j + _ω²_jx_j = 0. (29.32)

Мы приходим к важному выводу: в случае устойчивого равновесия q⁰, когда второй дифференциал d²V (q⁰)(u,u) = (Au,u) есть положительно определенная форма, уравнение малых колебаний может быть представлено как набор n независимых гармонических осцилляторов, где n — число степеней свободы системы.

Я уже упоминал раньше, см. 8, о такого рода нетривиальных разбиениях динамической системы на независимые подсистемы. Замечу, что и в неустойчивом случае уравнение «малых колебаний» (29.20) представляется как декартово произведение независимых подсистем, по-прежнему определяемых уравнениями (29.32). В этом случае, однако, те из уравнений (29.32), для которых _ω²_j < 0, описывают не колебания, а экспоненциально растущие или экспоненциально затухающие движения, чему и соответствуют поставленные выше кавычки. В случае _ω²_j = 0 большинство решений уравнения (29.32) линейно растет со временем, лишь решения, отвечающие начальному условию вида x(0) = a, x˙(0) = 0, — постоянны.

Возможность разбиения динамической системы на невзаимодействующие подсистемы оказывается особенно важной, когда применяются вероятностные методы. Зачастую наличие тех или иных свойств статистической независимости оказывается решающим для успеха исследования. Дальше мы рассмотрим применение статистической механики к теории твердого тела — замечательный пример плодотворности изложенных здесь идей.

Упражнения.

1. Пользуясь теоремой Лиувилля о сохранении фазовых объемов, докажите, что равновесие гамильтоновой системы не может быть асимптотически устойчивым.

2. Докажите, что нулевое равновесие уравнения

x¨ = −x³

устойчиво по Ляпунову, хотя условия теоремы Лагранжа нарушены.

3. Пусть линейный оператор A действует в комплексном (унитарном) пространстве Cⁿ. Докажите, что он самосопряжен в том и только в том случае, когда его квадратичная форма (Aϕ,ϕ) при всех ϕ ∈ Cⁿ принимает вещественные значения.

4. При каких условиях решение (29.29) периодично по t? Вообще говоря, оно лишь квазипериодично.

5. Докажите, что если уравнение

Mu¨ = Au,

где M и A — самосопряженные операторы, причем

, имеет экспоненциально растущее решение, то оно имеет также экспоненциально затухающее решение с тем же показателем экспоненты.

30 Статистическая механика твердого тела

30. Статистическая механика твердого тела

Теперь речь пойдет о простейшей модели твердого тела в статистической механике. Представим себе кристаллическую решетку, в узлах которой q¹,...,qⁿ располагаются частицы — ионы или атомы. Обычно эти частицы несут некоторый электрический заряд — например, в узлах кубической кристаллической решетки поваренной соли находятся ионы натрия и хлора. Более редкий случай — когда в узлах решетки расположены электрически нейтральные атомы — представляет алмаз. Частицы взаимодействуют между между собой, и это взаимодействие описывается потенциальной энергией V (q). Здесь q = (q¹,...,qⁿ), где q^{i ∈} R³ — положение i-й частицы. Таким образом, q ∈ R³ⁿ. Предположим, что частицы совершают малые колебания около своих равновесных положений q⁰¹,q⁰²,...,q⁰ⁿ. Предполагается, что система натуральна, и ее гамильтониан имеет вид

. (30.1)

Импульс p выражается через оператор масс M(q) формулой

p = M(q)q.˙ (30.2)

Здесь q˙ = (q˙¹,...,q˙ⁿ) — скорость, q˙ ∈ R³ⁿ.

Положим q = q⁰ + u, где u — возмущение положения системы. Так как в случае равновесия q⁰ = 0, p⁰ = 0, можно считать, что q и p суть возмущения.

Простейшая модель получается, когда мы предполагаем колебания частиц около их положений равновесия столь малыми, что можно применить уравнения малых колебаний (см. (29.20))

Mu¨ = −Au, (30.3)

где M = M(q⁰), а оператор A (см. (29.18)) определяется матрицей Гесса потенциальной энергии V . Гамильтониан этой системы есть квадратичная относительно возмущений u, u˙ часть гамильтониана (30.1). Далее будем предполагать, что оператор A положительно определен, так что равновесие q⁰ есть точка строгого минимума потенциальной энергии V :

. (30.4)

Как мы уже видели, система (30.3) может быть представлена как декартово произведение 3n экземпляров гармонических осцилляторов. Каждый из них описывается уравнением вида (см. (29.32))

x¨_j + _ω²_jx_j = 0, (30.5)

где частоты ω_j отличны от нуля и вещественны в силу предположения

0 (оператор масс мы всегда считаем положительно определенным). При этом возмущение положения равновесия u(t) определяется разложением по нормальным модам (см. (29.31))

, (30.6)

где ϕ_j — собственный вектор оператора M⁻¹A, отвечающий собственному значению _ω²_j. В переменных x_j гамильтониан (30.4) принимает вид

. (30.7)

Пора остановиться и перевести дух. Все предыдущее есть не более, чем некоторые наводящие соображения. Мы можем теперь сказать, что простейшая модель твердого тела есть линейная динамическая система, состоящая из (представляющая собой декартово произведение) 3n невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Более того, даже и конкретные значения частот ω_j не играют серьезной роли в дальнейшем.

Перейдем к вычислению статистического интеграла

(30.8)

В случае гамильтониана (30.4) интеграл P(B) представляется в виде произведения 6n гауссовых интегралов:

. (30.9)