Математические модели естествознания (стр. 59 из 64)
Статистическая механика твердого тела
Далее получаем
. (30.10)Здесь мы считаем (имеем право!), что ωj > 0. Окончательно имеем
. (30.11)Теперь находим энергию E(B) по формуле (25.16). Заметим, что P(B) = CB3n, где C — константа, зависящая от частот ωj. Поэтому lnP(B) = 3nlnB + const, и вспоминая, что B = kT, получаем
E = 3nkT. (30.12)
Как и в случае идеального газа, энергия зависит лишь от температуры и числа частиц. Мы можем вычислить также теплоемкость c (точнее, cV — теплоемкость при постоянном объеме):
(30.13)Таким образом, теплоемкость зависит лишь от числа частиц и не зависит от их природы, а также и от температуры. Это — известный закон Дюлонга и Пти (1819 г.), которые экспериментально обнаружили, что у всех элементов в твердом состоянии атомная удельная теплоемкость (то есть удельная теплоемкость с поправкой на различный атомный вес) одна и та же. В экспериментах нередко наблюдаются большие отклонения от этого закона, но при достаточно высоких температурах. Пока сохраняется твердое состояние, закон, как правило, выполняется. Нужно сразу признать, что статистическая механика оказалась не в состоянии объяснить отклонения от данного закона при низких температурах. Это расхождение между теорией и экспериментом было одним из важнейших стимулов к развитию квантовой механики, точнее, квантовой статистики.
Приложение 1. Типичность единственности и
нетипичность неединственности решения задачи Коши
Здесь мы рассмотрим дифференциальное уравнение
x˙ = f(x,t) (A.1)
с непрерывной скалярной функцией f : R2 → R, заданной на всей плоскости R2. На самом деле, следующие рассмотрения можно провести вполне аналогично и для уравнений в Rn. Имеются и дальнейшие обобщения — на уравнения в банаховом пространстве X, на уравнения с многозначными функциями и т. д.
Наша цель — изложить доказательство удивительной теоремы Владислава Орлича (1932, [65]) (исследования Орлича были продолжены в работах [62, 63, 64]). Эта теорема показывает, что в определенном смысле (разъясненном ниже), типичной является ситуация, когда для уравнения
(A.1) с начальным условием вида
(A.2)решение для всех точек (x0,t0) ∈ R2 единственно! И это несмотря на то, что одного лишь свойства непрерывности функции√ f, как показывают про-
стые примеры (вспомните задачу Коши x˙ = 3 x, x(0) = 0), для единственности недостаточно. Удивительное дело, этот фундаментальный результат польского математика совсем мало известен, не упоминается в трактатах по дифференциальным уравнениям и в учебниках. Более того, весьма распространен предрассудок, что типична как раз неединственность. По-видимому, так получается потому, что многие верят в "принцип хрупкости хорошего". Этот принцип, говорящий, что все хорошее встречается редко и легко портится, применим, к сожалению, ко многим проблемам математики и жизни. Но он, выходит, отказывает применительно к задаче Коши (A.1), (A.2). Не считать же "хорошим" случаем неединственность решения.
В шутку я проводил голосование среди математиков, сначала в России, а затем в нескольких американских университетах, по вопросу о том, что типично — единственность или неединственность. Этот демократический способ решения проблемы дал правильный результат лишь на семинаре в Институте Куранта в Нью-Йорке, причем соотношение голосов за правильный ответ (единственность!) и против него было, кажется, 14:12, многие воздержались. Выдающиеся специалисты по дифференциальным урав-
нениям оказались в разных партиях. Получив, наконец, правильный ответ, я прекратил такие эксперименты.
Дальше нам понадобится ряд понятий из функционального анализа. Вероятно, они вам большей частью известны, а здесь я их лишь кратко напомню.
Категория множества по Бэру. Пусть X — метрическое пространство. Множество M ⊂ X называется всюду плотным в X, если его за-
мыкание M совпадает с X. Эквивалентное требование таково: в каждом шаре пространства X найдется хотя бы одна точка множества M. Либо так: для любой точки x ∈ X найдется последовательность точек x1, x2,... множества M такая, что xn → x, то есть ρ(xn,x) → 0. Здесь ρ — метрика, и ρ(x,y) — расстояние между точками x и y в X.
Множество M ⊂ X называется нигде не плотным в X, если для каждого шара в X найдется расположенный внутри него шар, не содержащий ни одной точки множества M.
Типичные примеры: множество Q всех рациональных чисел всюду плотно в метрическом пространстве R. Множество Qn всевозможных векторов пространства Rn, имеющих рациональные координаты, всюду плотно в Rn. Множество Z всех целых числе нигде не плотно в R. Прямая в R2 нигде не плотна.
Нетривиальный пример нигде не плотного множества построил Г. Кантор. Рассмотрим сегмент [0,1]. Выбросим из него интервал
. С двумя оставшимися отрезками проделаем такую же процедуру: разделим каждый из них на 3 равных отрезка и выбросим среднюю часть. С оставшимися четырьмя отрезками проделаем то же самое. Продолжим эти действия до бесконечности. Оставшееся канторово множество K нигде не плотно на [0,1]. В этом случае X = [0,1], ρ(x,y) = |x − y|. Заметьте, что построенное таким образом канторово множество состоит из всевозможных чисел на отрезке [0,1], имеющих разложение в троичную дробь, в котором отсутствует цифра 2.Канторовы множества долгое время казались математикам абстрактной и вычурной выдумкой. Однако в середине XX века они стали появляться в теории динамических систем и, по сути, во всех областях нелинейной математической физики (конечно, не обязательно в процедуре Кантора делить отрезки на равные части).
Множество M называется множеством 1-ой категории по Бэру, если его можно представить как счетное объединение нигде не плотных множеств. Например, множество Q рациональных чисел в R, а также и Qn в Rn, суть множества 1-й категории, хотя бы по тому, что они сами счетны.
Множества, не являющиеся множествами 1-й категории, называются множествами 2-й категории. Среди них особенный интерес представляют вычеты. Множество M ⊂ X называется вычетом, если оно — 2-й категории, а его дополнение X \ M есть множество 1-й категории. Замечу, что всякое полное метрическое пространство X есть множество второй категории — в себе. В этом случае и всякое непустое открытое множество в X — тоже второй категории, и дополнение всякого множества первой категории имеет вторую категорию, а значит, является вычетом.
Понятно, что множества 1-й категории — это в некотором роде "малые множества зачастую пренебрежимо малые. Напротив, явления, которые происходят для всех точек множества 2-й категории, в аналогичном смысле можно рассматривать как типичные (конечно, типичность явления не означает, что оно происходит всегда, может быть несколько, даже бесконечно много, различных типичных ситуаций, см. упражнение 4).
Конечно, имеются и другие подходы к определению "пренебрежимо малых" и типичных множеств. Напомню два других варианта. Первый из них связан с размерностями. Например, гладкая кривая или гладкая поверхность в R3 может считаться "пренебрежимым" множеством (замечу, что гладкость здесь очень существенна — как показал Пеано, непрерывная кривая может проходить через все точки куба). Второй подход связан с мерой. Пренебрежимыми считаются множества меры 0, иногда их даже называют нулевыми. Обычно также "пренебрежимо малыми" считаются конечные подмножества бесконечных множеств, или вообще подмножества меньшей мощности. Когда-то математики были поражены результатом Кантора: квадрат и отрезок прямой — множества равномощные (докажите!)
Надо еще подчеркнуть, что понятия плотного, нигде не плотного множества, а также множеств 1-ой и 2-ой категории зависят от выбора метрики. Эти понятия определяются и для более общих топологических пространств, и тоже зависят от выбора топологии. Вполне может случиться, что множество 1-ой категории X станет множеством 2-ой категории, если мы на том же множестве X введем другую метрику или топологию. Точно так же множество, имеющее нулевую меру µ, может оказаться множеством положительной меры µ1.
Пространство функций C(R2). Каждая функция f : R2 → R :
(x,t) 7→ f(x,t) определяет на всей плоскости R2 дифференциальное уравнение вида (A.1). Будем рассматривать пространство всевозможных непрерывных функций на плоскости. Чтобы иметь право произносить слово "пространство необходимо определить, что мы понимаем под сходимостью последовательности функций f1(x,t), f2(x,t),....
Скажем, что fn → f, если для любого компакта в R2 (а можно сказать проще, для любого круга) имеет место равномерная сходимость fn(x,t) → f(x,t), здесь f — предельная функция. Это пространство мы и обозначим через C(R2).