Математические модели естествознания (стр. 6 из 64)
изводные
.Тогда для решения x(t) имеется лишь две возможности: 1) решение x(t) можно продолжить на всю полуось t ≥ 0; 2) существует t+∗ > 0 такое, что |x(t)| → ∞ при t → t+∗ .
Конечно, аналогичный результат справедлив и для задачи продолжения решения на отрицательную полуось: если решение x(t) нельзя продолжить на всю полуось t ≤ 0, то найдется t−∗ < 0 такое, что что |x(t)| → ∞ при
.Областью определения решения x(t) может быть либо вся ось t, либо полуось, либо интервал
, либо полуинтервал. Можно объединить все эти случаи, условившись полагать 
в случае, когда решение продолжимо на всю положительную полуось, и 
, когда решение продолжимо на всю отрицательную полуось.Явление ухода решения на бесконечность за конечное время называется коллапсом или взрывом.
Согласно теореме об альтернативе, для доказательства глобальной разрешимости достаточно исключить взрыв, коллапс. А это значит, что необходимо доказать априорную оценку: предполагая, что решение существует и определено, скажем, для всех t ≥ 0, то есть нужно установить, что для него верна оценка
|x(t)| ≤ M(t), (3.11)
где M(t) — некоторая непрерывная функция. Не воспрещается даже, чтобы функция M(t) была неограниченной на луче t ≥ 0. Важно, что априорная оценка (3.11) исключает взрыв, тогда согласно теореме, решение x(t) определено для всех t ≥ 0.
Обратите внимание на изысканную логику применяемого здесь рассуждения: мы предполагаем, что решение на [0,+∞) существует и доказываем, что тогда для него выполняется оценка (3.11). А отсюда по теореме следует, что решение и в самом деле существует. К тому же иногда функция M(t) нам в явном виде неизвестна, но оказывается возможным доказать, что она существует. Заметим еще, что в теореме речь идет о конкретном решении x(t), соответственно, функция M(t) определяется для этого решения.
Возможно, Вы помните из общего курса, что есть все-таки один очень важный класс систем дифференциальных уравнений (векторных дифференциальных уравнений), для которого имеет место глобальная разрешимость задачи Коши. Это линейные дифференциальные уравнения вида
x˙ = A(t)x, (3.12)
в Rn или, вообще, в конечномерном банаховом пространстве X. Здесь A(t) — непрерывная по t оператор-функция: A(t) : X → X есть линейный оператор для каждого t ∈ R. В случае конечномерного пространства X все линейные операторы непрерывны. Результат о глобальной разрешимости сохраняется и в случае бесконечномерного пространства X, если A(t) для каждого t есть линейные оператор, а оператор-функция A(t) непрерывна по t в смысле нормы оператора (доказательство можно найти, например, в книге [11]).
На самом деле, суть не в линейности дифференциального уравнения, а в том, что векторное поле на бесконечности растет не слишком быстро — разрешается не только линейный рост, но даже и чуть-чуть более сильный. При таких условиях удается непосредственно получить нужные априорные оценки. Об этом говорят следующие две теоремы. Сразу, однако, замечу, что уже степенной рост более быстрый, чем линейный, скажем, |x|1+ε, ε > 0, может (хотя, конечно, не обязательно) привести к коллапсу решений.
Теорема2.РассмотримзадачуКошидлядифференциальногоуравнения в Rn
x˙ = F(x,t), x(0) = x0. (3.13)
Пусть снова выполнены условия классических теорем существования и единственности: F — непрерывная вектор-функция, заданная для всех (x,t) ∈ Rn × R, и существуют непрерывные производ-
ные
.Предположим, что выполнена следующая оценка
|F(x,t)| ≤ m(t)|x|, (3.14)
для всех x ∈ Rn, t ≥ 0 (достаточно потребовать, чтобы неравенство (3.14) выполнялось для всех x вне некоторого шара, скажем, при |x| ≥ a). Здесь m(t) — непрерывная функция, определенная для t ≥ 0.
Тогда всякое решение задачи Коши (3.13) можно продолжить на всю полуось t ≥ 0.
Доказательство. Предположим, что задача Коши (3.13) имеет решение x(t). Подставим его в уравнение (3.13). Умножая полученное равенство скалярно на x(t), получим
. (3.15)Дальше, ради краткости, вместо x(t) будем писать x, а вместо |x|2 — x2. Применяя для оценки правой части неравенство Коши-Буняковского, а затем условие теоремы (3.14), получим
. (3.16)Это известное Вам дифференциальное неравенство. Следующее рассуждение носит довольно общий характер, повторяя в нашем конкретном случае лемму Гронуолла (см. [49]).
Умножим (3.16) на
. Тогда это неравенство перепишется в эквивалентной форме
. (3.17)Интегрируя по времени, с учетом начального условия (3.13) получим
t
2R m(s)ds
|x(t)|2 ≤ |x0|2e 0 (3.18)
или t
R m(s)ds
def
|x(t)| ≤ |x0|e0 = M(t). (3.19)
Итак, мы доказали априорную оценку (3.19). Поэтому коллапс невозможен. Осталось сослаться на теорему об альтернативе, и доказательство окончено.
Теорема 3. Пусть вместо условия (3.14) выполняется (хотя бы при больших |x|) неравенство
|F(x,t)| ≤ m(t)ϕ(|x|), (3.20)
где m(t)— непрерывная на луче t ≥ 0 функция, а функция ϕ(s) определена для s ≥ 0 и удовлетворяет условию
, (3.21)нижний предел можно поставить какой угодно.
Тогда сохраняется утверждение теоремы 2: всякое решение задачи задачи Коши (3.13) можно продолжить на всю полуось t ≥ 0.
Это так называемая теорема Хартмана-Уинтнера (см. книгу Ф. Хартмана [49]), достаточно тривиальная. Доказывается она в основном так же, как теорема 2, думаю, Вы справитесь с этим сами.
Можно сказать, что доказательства теорем 2 и 3 носят «силовой» характер, потому что они основываются на непосредственных и грубых оценках правых частей уравнений. Ограничения, принятые в этих теоремах, очень сильны, очень строги и не часто выполняются. Для большинства наиболее важных нелинейных систем правые части на бесконечности растут степенным образом (скажем, как |x|2 или |x|3), а то и экспоненциально. Пожалуй, в приложениях помимо линейных уравнений, теорема 2 применяется еще к уравнениям и системам с ограниченными правыми частями. Например, из нее следует глобальная разрешимость для уравнения математического маятника x¨ + ω2 sinx = 0.
В упражнениях Вы найдете примеры систем уравнений, для которых априорные оценки решений и глобальную разрешимость задачи Коши можно вывести более тонкими приемами, с использованием их специфических свойств.
Упражнения
1. Докажите, что для скалярного уравнения
x˙ = a1x + a2x2 + ...anxn
(a1,...,an — вещественные параметры) глобальная разрешимость на всей оси времени имеет место тогда и только тогда, когда a2 = a3 = ... = an =
0.
Докажите также, что при n > 1 и an 6= 0 глобальная разрешимость для положительных времен t ≥ 0 имеет место в том и только в том случае, когда n — нечетно, и при этом an < 0.
2. Найдите априорную оценку решения и докажите глобальную разрешимость задачи Коши для уравнения в Rn
x˙ = F(x,t)
с ограниченной правой частью: задана оценка |F(x,t)| ≤ M(t), где M(t) — известная функция, определенная для всех t ∈ R, а x ∈ Rn — произвольная точка.
3. Докажите, что если потенциальная энергия V (x) ограничена снизу (так что V (x) ≥ h для всех x ∈ Rn при известной постоянной h), то для обобщенного уравнения 2-го закона Ньютона
x¨ = −grad V (x)
справедлива теорема о глобальной разрешимости. Сохраняется ли этот результат после введения внешней силы F(t) — для уравнения
x¨ = −grad V (x) + F(t).
4. Рассмотрите скалярное уравнение
при V (x) = axm. При каких a и m возможен коллапс?
5. Приведите пример уравнения вида x˙ = F(x) на плоскости R2 такого, что поле F(x) непрерывно, ни в одной точке не имеет производной, не удовлетворяет условию Осгуда, но тем не менее решение задачи Коши существует и единственно.