Математические модели естествознания (стр. 61 из 64)
Докажем теперь, что
суть решения предельной задачи Коши
. (A.11)Для этого достаточно заметить, что задача Коши (A.7) (дифференциальное уравнение вместе с начальным условием) эквивалентна интегральному уравнению, которому удовлетворяет xn(t)
t
Z
n n n
x (t) = x0 + fn(x (s),s)ds. (A.12)
tn0
Перейдем в этом уравнении к пределу, когда n пробегает выделенную нами подпоследовательность значений. Тогда
равномерно на любом сегменте Im. Поскольку fn → f равномерно на любом компакте, выполнены условия известной Вам теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Таким путем мы приходим к интегральному уравнению
t
Z
x∞(t) = x∞0 + f(x∞(s),s)ds, (A.13)
t∞0
из которого следует, что x∞(t) является решением задачи Коши
. (A.14)Аналогично устанавливается, что и функция
— решение этой же задачи Коши.Мы уже видели, что
. Переходя к пределу в (A.8) и (A.9), приходим к неравенствам (проделайте подробные доказательства)
, (A.15) | sup |x∞(t) − x∞∗ (t)| ≥ a. t∞0 −τ<t<t∞0 +τ | (A.16) |
Мы доказали, что предельная функция принадлежит множеству f ∈ M(x0,t0,τ,a), а вместе с тем и лемму 1.
Лемма 2. Множество M(x0,t0,τ,a) нигде не плотно для любой точки (x0,t0) и любых чисел τ > 0, a > 0.
Доказательство. Рассуждая от противного, допустим, что множество M(x0,t0,τ,a) плотно в некотором шаре пространства C(R2). Ввиду замкнутости, оно целиком содержит этот шар. В каждом шаре пространства C(R2), как известно, плотно также и множество гладких функций C∞ (нам сейчас достаточно рассматривать сужения функций из C(R2) на круг B1(x0,t0)). Но для гладкой функции f(x,t) мы знаем теорему единственности задачи Коши для уравнения x˙ = f(x,t). Значит такая функция не может принадлежать множеству M(x0,t0,τ,a) (красиво?). Лемма 2 доказана.
Теорема Орлича. Множество M функций f ∈ C(R2) таких, что уравнениеx˙ = f(x,t)обладаетхотябыоднойточкойнеединственности на плоскости R2, является множеством первой категории в C(R2).
Доказательство. Очевидно, что всякая функция f такая, что существует хотя бы одна точка неединственности уравнения x˙ = f(x,t), принадлежит некоторому множеству M(x0,t0,τ,a). Более того, ясно, что при этом можно считать числа x0, t0, τ, a рациональными. Множество Q всех рациональных чисел счетно, множество всех четверок рациональных чисел x0, t0, τ, a тоже счетно (докажите!). Мы установили, что множество M является счетным объединением
M = [M(x0,t0,τ,a) (A.17)
по всем x0, t0, τ, a ∈ Q. Согласно лемме 2, каждое из множеств M(x0,t0,τ,a) нигде не плотно. Теорема доказана.
В свете этой теоремы ситуация с проблемой единственности решения задачи Коши выглядит драматической. На самом деле, единственность — при любой начальной точке! — имеет место для подавляющего большинства уравнений x˙ = f(x,t), f ∈ C(R2). В то же время классическая теорема единственности относится к функциям f, удовлетворяющих условию Липшица, которые в совокупности образуют множество 1-й категории в C(R2). Ситуация с теоремой единственности Осгуда чуть менее ясна. Если зафиксировать в этой теореме функцию g(s), оценивающую модуль непрерывности функции f, и рассматривать лишь такие f, для которых локально, вблизи каждой точки (x0,t0) ∈ R2, выполнено неравенство
|f(x0,t) − f(x00,t)| ≤ Kg(|x0 − x00|), K > 0, (A.18)
то нетрудно доказать, что соответствующее множество Cg имеет 1-ю категорию.
Вопрос: какова категория множества всех f, удовлетворяющих условиям теоремы Осгуда?
Напомню, что функция g должна лишь подчиняться требованию
. (A.19)При этом, конечно, предполагается, что g(0) = 0, но g(s) > 0 для всех s > 0 (или для s достаточно малых). Имеются небольшие обобщения теоремы Осгуда, скажем, в неравенстве (A.18) можно еще допустить множитель ϕ(t) при достаточной регулярности функции ϕ (см. [35, 49]).
Все это говорит о том, что нужно и интересно искать новые подходы к доказательству теоремы единственности задачи Коши. "Силовые подходы основанные на оценках типа (A.18) абсолютной величины разности f(x0,t) и f(x00,t) для пары решений x0 и x00, по-видимому, не приводят к результату для очень многих дифференциальных уравнений, обладающих, на самом деле, свойством единственности.
Надо признаться, что предыдущее утверждение может оказаться "ложной тревогой". В математике не так уж редко случается, что то или иное явление происходит в "подавляющем большинстве" случаев, но установить, что оно происходит в данном конкретном случае, очень трудно, а то и практически невозможно. Например, известно, что в ситуации общего положения линейный оператор A : Rn → Rn имеет ненулевой определитель и обратим, но доказать, что данный определитель отличен от нуля, — непростое дело. Оказалось, что в общей проблеме обратимости оператора A целесообразно изменить постановку вопроса: вместо индивидуального оператора A, рассматривать однопараметрическое семейство операторов A − λI. Тогда можно установить, что обратимость имеет место для всех значений λ, кроме конечного набора собственных значений (в случае банахова пространства и вполне непрерывного оператора A — кроме не более чем счетного множества значений). Это всё, что может дать общая теория. Выяснение того, для каких λ оператор A − λI обратим, и для каких он необратим, распадается на необозримое множество различных частных теорий, которые в совокупности образуют спектральную теорию линейных операторов, и еще, пожалуй, не оформившуюся в самосостоятельную дисциплину бесконечномерную линейную алгебру.
Другой пример — свойства эргодичности и перемешивания динамической системы [48]. Для конкретных систем доказательство эргодичности и перемешивания, как правило, чрезвычайно трудно, хотя доказано, что эргодические системы образуют множество 2-ой категории при определенном выборе топологии. Кстати, это как раз хороший пример зависимости категории по Бэру от выбора топологии.
Если проводить аналогию между проблемой единственности и перечисленными выше проблемами, то с некоторой вероятностью (по-моему, не очень большой) можно опасаться, что для уравнения x˙ = f(x,t), где f — всего лишь непрерывная функция, не получится вполне общей теоремы единственности. Интересно, однако, найти пусть частные, условия, обеспечивающие единственность для множества таких уравнений 2-й категории.
О других подходах к проблеме неединственности. Наряду с классификацией множеств по Бэру, имеются и другие подходы к проблеме сравнения множеств по их "массивности". Например, если на рассматриваемом множестве (нас сейчас интересует C(R2)) задана некоторая мера, принято и естественно считать "пренебрежимо малыми" множества меры 0. Существенно заметить, что в случае, когда на данном множестве определены и метрика, и мера, эти два подхода могут существенно разойтись. В частности, множество 1-й категории может иметь положительную меру.
В.И. Арнольд не раз обращал внимание на подобное расхождение в ряде важных вопросов теории динамических систем. Поэтому, рассказывая ему о теореме Орлича, я предвидел, что он спросит и о подходе к данной проблеме с точки зрения меры. Это трудный вопрос. Неясно даже, как его корректно сформулировать, поскольку для бесконечномерных метрических пространств не существует естественного аналога меры Лебега в Rn. Какую же меру выбрать? От этого выбора тоже зависит результат. В такой ситуации интересно для начала рассмотреть семейства дифференциальных уравнений, зависящие от конечного числа параметра, например, выбрать в качестве их правых частей конечные линейные комбинации функций из