Математические модели естествознания (стр. 62 из 64)
n
C(R2), скажем, P ckfk(x,t). Теперь каждому уравнению с такой правой
k=1
частью соответствует точка (c1,...,cn) ∈ Rn. И резонно спросить, какова мера Лебега множества точек, отвечающих уравнениям, обладающим точками неединственности. При этом можно считать, что коэффициенты ck ограничены, например, неравенством
. Нетрудно привести примеры таких семейств уравнений
, (A.20)для которых точки неединственности присутствуют при любом выборе коэффициентов (например, положим fk(x,t) = |x|1/2k); тогда (0,t0) — точка неединственности при любом t0. Предположим однако, что данное семейство содержит хотя бы одно уравнение, для которого верна теорема единственности решения задачи Коши при любом выборе начальной точки. Что можно тогда сказать о мере множества тех уравнений семейства (я уже отождествил уравнение и определяющую его точку (c1,c2,...,cn)), которые обладают хотя бы одной точкой неединственности?
Поставим вопрос о мере множества тех точек (c1,c2,...,cn) ∈
n
Rn и удовлетворяющих условию P c2k ≤ a2 (при заданном a > 0),
k=1
для которых уравнение (A.20) имеет хотя бы одну точку неединственности. При этом предполагается, что для некоторого набора c01,...,c0n единственность имеет место для всех начальных точек в R2.
У меня нет полной уверенности, что это уже окончательная постановка задачи. В конце концов, лишь красивый ответ может подтвердить разумность вопроса. Есть однако надежда, что двигаясь в намеченном направлении, возможно прийти к интересным постановкам задач, допускающих содержательные решения.
О глобальной разрешимости. Наряду с единственностью, представляет значительный интерес глобальная разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения x˙ = f(x,t). Глобальная разрешимость означает, что для любой начальной точки решение задачи Коши (все решения, если их много) можно продолжить на всю временную ось (или хотя бы на положительную полуось — это другой вариант вопроса).
Типична ли глобальная разрешимость? Какова категория множества глобально разрешимых уравнений? Мне кажется, что в отличие от единственности, глобальная разрешимость нетипична. Может быть, кто-нибудь возьмется подтвердить или опровергнуть эту гипотезу.
Упражнения к Приложению A
1. Доказать, что множество вещественных чисел, в разложении которых в k-ричную дробь какая либо цифра, начиная с некоторого места, отсутствует, есть множество 1-й категории в R.
2. Из результата предыдущего упражнения вывести, что существуют такие числа, что в их разложениях в k-ричную дробь для любого k, каждая значащая цифра присутствует бесконечно много раз. Более того, множество таких чисел является вычетом.
3. Доказать, что множество ограниченных непрерывных функций есть множество первой категории в C(R2). Доказать, что и множество непрерывных функций f, таких что
(при фиксированном α) — ограниченная функция на R2, — тоже множество 1-й категории в C(R2).4. Докажите, что как существование у вещественного полинома x2 + px + q пары вещественных простых корней, так и существование у него пары комплексно сопряженных корней — типичные ситуации, а существование кратного корня — нетипично (в смысле категорий соответствующих множеств точек (p,q) на плоскости R2). Как обобщить этот вывод на полиномы n-й степени?
5. Рассмотрим пространство функций C(a,b), непрерывных на интервале (a,b). Определим сходимость в этом пространстве, считая, что fn → f, если и только если fn(x) → f(x) равномерно по x на любом сегменте [α,β] ⊂ (a,b). По аналогии с метрикой (A.3), определите метрику, отвечающую этому типу сходимости.
6. Докажите, что множество функций из C(R2), удовлетворяющих условию Липшица, есть множество 1-й категории.
7. Останется ли верной теорема Орлича, если в ней заменить пространство C(R2) на банахово пространство MC(R2) непрерывных и ограниченных на R2 функций? Норма в этом пространстве определяется равенством:
.8. Вспомните доказательство и докажите, что задача Коши x˙ = f(x), x(0) = x0 для одного скалярного дифференциального уравнения имеет, и притом единственное, решение для любой непрерывной функции f(x) при одном лишь условии, что f(x0) 6= 0.
√
9. Рассмотрите задачу Коши x˙ = 3 x + εt, x(0) = 0. При ε = 0 решение неединственно. А при ε 6= 0?
10. Рассмотрите уравнение x˙ = |x+ε|t|β|α, при 0 < α < 1, и 0 < β < 1. При ε = 0 у него есть точка неединственности. Имеются ли точки неединственности при ε 6= 0? (Конечно модули уродуют это уравнение, но их можно опустить, если выбрать в качестве α и β правильные дроби с нечетными знаменателями). Ответ мне в данный момент неизвестен. Теорема Орлича подсказывает гипотезу: при ε 6= 0 — всегда единственность. Любопытно также посмотреть, что дадут стандартные программы решения задачи Коши применительно к уравнениям такого типа.
11. Если физик-экспериментатор покажет Вам матрицу, например, размеров 10×10, элементы которой получены путем измерений, и спросит какова ее жорданова форма, Вы можете уверенно отвечать, что диагональная. Почему?
12. А теперь представьте себе, что Ваш друг, физик-экспериментатор из предыдущего упражнения, попросил Вас привести к диагональному виду два-три десятка матриц 10×10. Еще он Вам сообщил, что каждая из этих матриц многократно проверена независимыми экспериментами. Анализируя диагональные формы этих матриц, он рассчитывает получить важные физические выводы (допустим, об озоновой дыре, либо о строении кристаллов). У Вас имеется несколько стандартных программ диагонализации матриц, все они Вами хорошо проверены и много раз применены для различных матриц 20-го и 30-го порядка. И вот выяснилось, что все Ваши программы отказываются работать для этих матриц. Скорей всего, Вы должны поздравить своего друга-физика с большим успехом. Почему? Что Вы предлагаете делать дальше?
Приложение 2. Изометрии и вращения банахова
пространства. Теорема Мазура и Улама
Здесь изложена замечательная теорема Мазура и Улама о линейности изометрического отображения U : X → Y одного банахова пространства в другое, при условии, что 0 ∈ X переходит в 0 ∈ Y , так что U(0) = 0. Сохраняя основную идею доказательства [5], я попытался прояснить его ход при помощи введения понятия центра множества в метрическом пространстве.
Центрограниченногомножества. Пусть X — метрическое пространство, и M ⊂ X — ограниченное множество в нем. Это означает, что M содержится в некотором шаре пространства X. Определим диаметр d(M) множества M, полагая
d(M) = sup ρ(x,y). (A.1)
x,y∈M
Очевидно, для ограниченных множеств, и только для них, диаметр конечен. Теперь определим 1-центр C1(M) множества M, полагая
. (A.2)Таким образом, множество C1(M) состоит из всевозможных точек пространства X, удаленных от произвольной точки множества M не более, чем на половину диаметра множества M.
Например, 1-центр шара в евклидовом пространстве есть попросту множество, состоящее из одной точки — его центра. Бывает, что 1-центр множества пуст: выбросим центр некоторого шара из X, тогда 1-центр шара полученного пространства не будет содержать ни одной точки.
Теперь по индукции определим n-центр Cn(M) для любого натурального n = 2,3..., полагая
C2(M) = C1(C1(M)) ∩ C1(M), ..., Cn(M) (A.3) = C1(Cn−1(M)) ∩ Cn−1(M),...
Заметим, что 1-центр C1(M) конструируется из точек пространства X, в то время как n-центр Cn(M) при n = 2, 3,... обязан быть подмножеством (n − 1)-центра.
Определим, наконец, центр ограниченного множества M ⊂ X как пересечение всех n-центров
(A.4)Лемма 1. Центр всякого ограниченного множества M метрического пространства X содержит не более одной точки
Доказательство. Докажем, что диаметр n-центра, по крайней мере, в 2n−1 раз меньше чем d(M):