Математические модели естествознания (стр. 64 из 64)
s x4
x1 s s x3 s x5
s x2
2. Докажите, что для всякого шара B в банаховом пространстве X центр C(B) есть его центр в обычном смысле слова.
3. Пусть U : X → Y — изометрическое отображение метрического пространства X в метрическое пространство Y . Докажите, что для любого множества M ⊂ X с непустым центром C(M) = {ξ} его образ U(M) ⊂ Y также имеет центр η ∈ Y и Uξ = η. Докажите также, что U(Cn(M)) = Cn(U(M)).
4. Пусть D — множество в Rn, содержащее не менее, чем n + 1 точку, среди которых имеется точка 0 ∈ Rn, а остальные n точек линейно независимы. Индуцированная на нем метрика пространства Rn превращает D в метрическое пространство. Пусть U : D → Rn — изометрическое отображение, оставляющее точку 0 неподвижной. Докажите, что его можно считать линейным. Точнее, существует линейное изометрическое отображение Uˆ : Rn → Rn, однозначно определяемое отображением U, и такое, что его сужение на D есть U, или, в символах:
.5. Докажите, что, если в теореме Мазура и Улама отбросить условие сохранения нуля, то можно утверждать, что изометрическое отображение аффинно, то есть U = U0 +Lh, где Lh — трансляция на постоянный вектор h, а U0 — линейное изометрическое отображение.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Александров П.С., Колмогоров А.И. Введение в теорию функций действительного переменного. М.–Л.: ГТТИ, 1938. 268 с.
[2] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 271 с.
[3] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.
[4] Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д. Гидромеханика невесомости. М.: Наука, 1976. 504 с.
[5] Банах С. Теория линейных операций. Москва–Ижевск, РХД. 2001. 272 с.
[6] Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. — М.: Гостехиздат, 1956. — 344 с.
[7] Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М. Наука, 1976. 648 с.
[8] Ворович И.И. Лекции по динамике Ньютона. Современный взгляд на механику Ньютона и ее развитие — Москва–Ижевск: Инст. комп. исследов., 2004. — 680 с.
[9] Гиббс Дж.В. Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982. 323 с.
[10] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971. 343 с.
[11] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534 с.
[12] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. M.: Наука. 1967. 472 с.
[13] Зеньковская С.М., Юдович В.И. Метод интегро-дифференциальных уравнений и цепных дробей в задаче параметрического возбуждения волн // ЖВМ и МФ. 2004. № 4. С. 370–384.
[14] Зоммерфельд А. Механика. М.: ИЛ, 1947. 391 с.
[15] Зорич В.А. Математический анализ. Т. I, II. М.:Наука, 1984. 642 с.
[16] Козлов В.В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа – Дирихле // ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 6. С. 928–937.
[17] Козлов В.В., Паламодов В.П. Об асимптотических решениях уравнений классической механики // ДАН СССР. 1982. Т. 263, № 2. С. 285–
289.
[18] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.–Л.: Гостехиздат, 1951. 476 с.
[19] Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947. 928 с.
[20] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1988. 216 с.
[21] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. 508 с.
[22] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 c.
[23] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 518 с.
[24] Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.–Л.: Гостехиздат, 1950. 471 с.
[25] Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966. 532 c.
[26] Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. 1987. 304 с.
[27] Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Изд-во ИЛ, 1957. 256 с.
[28] Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: ГИТТЛ, 1957. 476 с.
[29] Михлин С.Г. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1968. 576 с.
[30] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.
[31] Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.
[32] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М.: Наука, 1989. — 688 с.
Newton I. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London, 1687;
[33] Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 640 с.
[34] Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
[35] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 280 с.
[36] Повзнер А.Я. Теорема существования в целом для нелинейной системы и индекс дефекта линейного оператора // Сибирский математический журнал. 1964. Т. 5, № 2. С. 377–386.
[37] Полак Л.С. Вариационные принципы механики. М.: Физ.-мат. лит. 1960. 932 с.
[38] Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. 320 с.
[39] Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.
[40] Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: ГИТТЛ, 1954. 444 с.
[41] Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз, 1959. 468 c.
[42] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Наука. 1983. 352 с.
[43] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Т.12. — M.: Мир, 1976. 439 с.
[44] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. I, II, III. М.: Наука, 1964.
[45] Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Под ред. Борисова А.В., Мамаева И.С., Соколовского М.А. Москва-Ижевск:
Инcт. комп. исследов. 2003. 704 с.
[46] Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974. 225 c.
[47] Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических положений равновесия. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1985.
[48] Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет 1999. 136 с.
[49] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. 720 с.
[50] Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Гостехиздат. 1955. 176 c.
[51] Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский матем. журнал. 1964. Т. XVI, № 1. С. 61–70.
[52] Эйнтштейн А. Собрание научных трудов. Т. 1. М.: Наука, 1965. С. 7–
35.
[53] Юдович В.И. Глобальная разрешимость против коллапса в динамике несжимаемой жидкости // В сб. «математические проблемы XX века». М.: Фазис, 2003. С. 519–548.
[54] Юдович В.И. Динамика нити // Деп. в ВИНИТИ 10.10.95, №2725В95.
[55] Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Мат. заметки. 1991. Т. 49. N. 5. C. 142–148.
[56] Юдович В.И. Лекции об уравнениях математической физики. Изд-во Ростовского ун-та, 1998. 240 с.
[57] Юдович В.И. Лекции об уравнениях математической физики. Часть вторая. Изд-во Ростовского ун-та, 1999. — 255 с.
[58] Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону, изд-во РГУ, 1984. 192 с. (Англ. перевод: Yudovich V. I. “The Linearization Method in Hydrodynamical Stability Theory”, Translation of mathematical monographs, 74,
American Mathematical Society, Providence, Rhodeisland, 177 p., (1989))
[59] Юдович В.И., Срубщик Л.С. Динамическое прощелкивание и запас устойчивости нелинейной упругой системы // ПММ. Т. 50. 1986. С. 426–435.
[60] Broer L.J.F. On the Dynamics of Strings // J. Engineering Mathematics. 1970. Vol. 4. No. 3. P. 195–202.
[61] Charzinski Z. Sur les transformations isometrique dans les espace du type´ (F), Studia Math., 13, 1953, pp. 94–121.
[62] Janda J. Uber die Kategorie der Menge stetiger Funktionen, welche¨ Differentialgleihungen ohne Eindeutigkeit bestimmen // Czechoslovak Mathematical Journal, 23 (98), no. 1, 1973, 30–33.
[63] Kisielewicz M. Description of a class of differential equations with setvalued solutions // Atti Ac. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. fis.mat. e natur. 58, no. 2, 1975, 158–162.
[64] Kisielewicz M. Description of a class of differential equations with setvalued solutions // Atti Ac. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. fis.mat. e natur. 58, no. 3, 1975, 338–341.
[65] Orlicz W. Zur Theorie der Differentialgleichung y0 = f(t,y) // Bull. de Acad. Pol. des Sciences, Ser. A, 1932, 221–228.
[66] Verhulst, P. F. Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement // Correspondance mathe’matique et physique. 1838.
10:113–121.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Об авторе и этой книге 2
Предисловие автора 4
Математические модели 8
1 Динамические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Автономные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . 12
3 О глобальной разрешимости задачи Коши и единственности
решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Динамические системы с дискретным временем . . . . . . . 26
5 Интегралы и законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Неавтономные дифференциальные уравнения . . . . . . . . 45
7 Интегро-дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . 48
8 Декартово произведение динамических систем и разбиение
системы на независимые подсистемы . . . . . . . . . . . . . 51
9 Производные и градиенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Механика 60
10 Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа II рода . . . . . 62
11 Лагранжианы материальных частиц . . . . . . . . . . . . . 75
12 Законы сохранения в механике . . . . . . . . . . . . . . . . 82
13 Принцип Гамильтона для систем со связями . . . . . . . . . 99 14 Принцип наименьшего действия Мопертюи
(Мопертюи–Эйлера–Лагранжа–Якоби) . . . . . . . . . . . 106 15 Применение принципа Гамильтона в механике сплошной среды116
16 Принцип Гамильтона и конечномерные аппроксимации бесконечномерных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 17 Динамика гибкой нерастяжимой нити . . . . . . . . . . . . . 136
18 Уравнение колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
19 Специальная теория относительности Эйнштейна . . . . . . 162
20 Каноническая гамильтонова форма уравнений механики . . . 174
21 Силы трения. Диссипация энергии . . . . . . . . . . . . . . 184
Содержание
Элементы статистической механики 194
22 О законах термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
23 Теоремы Пуанкаре о возвращении . . . . . . . . . . . . . . 198
24 Гидродинамическая интерпретация систем дифференциальных уравнений и теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . 205 25 Распределение Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
26 Статистическая механика идеального газа . . . . . . . . . . 220
27 Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов . . . . . 227
28 Градиентные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
29 Малые колебания механической системы около положения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
30 Статистическая механика твердого тела . . . . . . . . . . . 257
Приложение 1. Типичность единственности и нетипичность
неединственности решения задачи Коши 260
Приложение 2. Изометрии и вращения банахова пространства.
Теорема Мазура и Улама 274
ЛИТЕРАТУРА 281