Математические модели естествознания (стр. 7 из 64)
6. Найдите и нарисуйте интегральную воронку решений задачи Коши
√
x˙ = 3 x, x(0) = 0.7. Возможно ли, что единственность решения имеет место для отрицательных t и ее нет для положительных t (присмотритесь к предыдущему примеру).
8. Доказать, что для скалярного уравнения
с начальным условием x(0) = x0 в случае коллапса при t = t∗ > 0 решение x(t) стремится к бесконечности определенного знака, то есть либо x(t) → +∞, либо x(t) → −∞ при t → t∗ − 0.
4. Динамические системы с дискретным временем
Динамической системой с дискретным временем называется пара (X,N), где X — метрическое пространство, N : X → X — отображение этого пространства в себя.
Движением этой системы с начальной точкой x0 называется последовательность
x0, x1 = Nx0, x2 = Nx1 = N2x0, ..., xn = Nnx0. (4.1)
Множество {xn}, n = 0,1,... называется положительной полутраекторией, определенной начальной точкой x0. Выполняются следующие равенства
N0 = I, Nm+n = NmNn. (4.2)
Первое из них — обычное определение, а второе выражает закон ассоциативности для композиции отображений.
Нетрудно видеть, что это тот же закон причинности (1.4), но записанный не для произвольных t,s ∈ R, а лишь для их неотрицательных целочисленных значений t = m, s = n. Если N — обратимое отображение, то
можно считать, что равенство (4.2) выполнено для всех целых m,n ∈ Z. В этом случае можно определить точки xn = (N−1)|n|x0. Множество {xn}, n = 0,±1,±2,... называется траекторией. Очевидно, траектория определяется любой своей точкой, в частности точкой x0.
Заметим, что множество операторов {I,N,N2,...} есть полугруппа. В случае, когда оператор N обратим, ее можно расширить до группы {Nn}, n = 0,±1,±2,... .
Каскады и потоки. Динамическую систему с дискретным временем называют также каскадом, в отличие от динамической системы с непрерывным временем, у которой есть еще название поток. Оба названия весьма выразительны, хотя термин «каскад» не всеми принят. Если рассматривается автономное дифференциальное уравнение x˙ = F(x) в Rn, то всегда полезно представить себе, что F есть поле скорости текущей жидкости. Это значит, что в точке x ∈ Rn задана скорость течения, хотя в этой точке появляются все время новые частицы жидкости. Если хотим проследить за движением той частицы жидкости, которая в начальный момент t = 0 находилась в точке x0 ∈ Rn, то для этого нужно решить задачу Коши с начальным условием x(0) = x0. Тогда решение x(t) = Ntx0 дает положение этой жидкой частицы в момент t.
Сейчас мы рассмотрим пути возникновения динамических систем с дискретным временем. Во-первых, динамические системы с дискретным временем (каскады) возникают при квантизации динамических систем с непрерывным временем (потоков). Во-вторых, в ряде случаев (в частности, в экологии) уже исходные математические модели оказываются динамическими системами с дискретным временем. В-третьих, рассматривая периодические дифференциальные уравнения, можно, а зачастую и полезно, перейти к рассмотрению решений лишь в точках np, кратных периоду p, что приводит к динамической системе с оператором монодромии. И, наконец, в-четвертых, динамические системы с дискретным временем возникают при исследовании автономных систем, для которых удается найти поверхность Пуанкаре и построить отображение Пуанкаре.
Квантизация. Случается, что, рассматривая динамическую систему с непрерывным временем, мы желаем сократить объем информации, с которой имеем дело (храним, обрабатываем, пересылаем) и фиксировать состояние системы лишь в дискретные моменты времени, скажем, только для t = nT, где T > 0 фиксировано. Так мы поступаем, например, составляя таблицы (T — шаг таблицы) решений дифференциальных уравнений. Так поступают и руководящие организации, запрашивая отчеты лишь ежегодно (T = 1 год), а не в каждый момент времени. Вместо x(t) = Ntx0 мы в этом случае рассматриваем лишь последовательность xn = x(nT) = NnT x0. Таким путем приходим к динамической системе с дискретным временем (X,NT ) с тем же пространством X и отображением NT .
Математические модели с дискретным временем. Иногда исходная математическая модель для описания данного явления уже оказывается системой с дискретным временем. Таковы многие модели экологии и генетики. Ограничусь здесь одним примером. Рассмотрим изменение численности популяции бабочек. Будем характеризовать величину популяции в n-м поколении, скажем, ее биомассой xn; ясно, что xn — неотрицательное число (xn ≥ 0). Когда популяция развивается беспрепятственно, действует закон Мальтуса
xn+1 = bxn. (4.3)
Здесь b > 0 — параметр, характеризующий популяцию.
Таким образом, мы приходим к рассмотрению динамической системы (R+,N), где неотрицательная полуось R+ есть пространство динамической системы, а N : R+ → R+ — отображение, определяемое равенством
Nx = bx. (4.4)
Если в начальный момент n = 0 (дискретного времени n) величина популяции есть x0, то по рекуррентной формуле (4.3) непосредственно получаем
xn = bnx0. (4.5)
Если b > 1, то xn → ∞ при n → ∞. Если b = 1, то xn = x0 для всех n, популяция не меняется со временем. Если b < 1, то xm → 0, популяция вымирает. Теперь понятно, почему b называется параметром жизненной силы данной популяции.
Закон Мальтуса (4.3) достаточно хорошо описывает развитие не только популяции бабочек, но и вообще эволюцию всякой популяции в условиях практически неограниченного запаса питания и отсутствия сопротивления внешней среды (хищников, загрязнения среды, самоотравления популяции продуктами ее жизнедеятельности). Я говорю о бабочках, потому что для них характерно, что все особи n-го поколения погибают, рождая (n + 1)е поколение; рост может оказаться еще быстрее, чем экспоненциальный, если часть особей n-го поколения продолжает жить одновременно с (n + 1)–м, (n + 2)–м и последующими поколениями.
Часто говорят, что для проверки условий применимости данной математической модели нужно рассмотреть ее как частный случай более общих моделей. Это не совсем так. Иногда модель сама громко заявляет о своей неприменимости. С одним примером мы уже встретились раньше. Если решение x(t) дифференциального уравнения испытывает коллапс, |x(t)| → ∞ при t → t∗, то ясно, что при t ≥ t∗ (а на самом деле даже раньше) модель становится неприменимой для описания дальнейшей эволюции. Закон Мальтуса при b > 1 дает другой пример. Авторы популярных книг любят приводить подсчет роста популяций бабочек, или кроликов в n-м поколении и отсюда выводить, что очень скоро такая популяция заполнит всю Землю, или что ее масса станет больше массы Солнца. Такие выводы, очевидно, решительно противоречат реальности. Это означает, что для описания дальнейшего развития популяции модель должна быть изменена.
Один из простейших способов хоть как-то учесть сопротивление внешней среды развитию популяций был предложен Ферхюльстом [66] и состоял в том, что в уравнение Мальтуса добавлялось квадратичное слагаемое. После введения надлежащих масштабов измерения (максимально возможный размер популяции принимается за 1) получается динамическая система (X,N), где X = [0,1], а отображение N задается равенством
Nx = bx(1 − x). (4.6)
Требование, чтобы для всякого x ∈ [0,1] его образ Nx также принадлежал [0,1], приводит к ограничению на параметр жизненной силы 0 ≤ b ≤ 4. Теперь получается, что
xn+1 = bxn(1 − xn). (4.7)
С ростом n выражение для xn (через x0) по этой рекуррентной формуле сильно усложняется. Чрезвычайно усложняется и поведение величин xn.
Сейчас мы обсудим некоторые общие вопросы о поведении движений, а затем вернемся к нашим бабочкам.
Поведение движений динамической системы на больших временах. Вообще, когда мы изучаем динамическую систему, будь то поток или каскад, наиболее интересен вопрос: что происходит при неограниченно возрастающем времени (при t → +∞ или при n → +∞)?
Простейший вариант — когда последовательность xn имеет предел: xn → x∗. Переходя к пределу в равенстве
xn+1 = Nxn (4.8)
и учитывая, что xn+1 → x∗, заключаем, что x∗ — неподвижная точка отображения N:
Nx∗ = x∗. (4.9)
Когда мы строим последовательность xn по формуле (4.8), то по существу как будто бы пытаемся решить уравнение (4.9) методом итераций. Итерации могут, конечно, и не сходиться. Как ведет себя тогда последовательность xn? Бывает, что движение xn стремится к циклу некоторого периода p. Циклом динамической системы (X,N) или циклом отображения N : X → X называется инвариантное множество {x1,x2,...,xp} (заметьте, что уже по смыслу слова «множество» все точки эти различны), для точек которого верно равенство