Математические модели естествознания (стр. 8 из 64)

Npxj = xj,

но если взять N в меньшей степени k < p, то N^kx^j 6= x^j ни для какого j. Например, если имеется три различные точки x¹,x²,x³ и выполняются равенства Nx¹ = x³, Nx³ = x², Nx² = x¹, то это означает, что множество {x¹,x²,x³} есть цикл периода 3. Заметьте, что определение периода цикла для отображений отличается от обычного определения периода функции скалярного аргумента — здесь в определение включается требование минимальности числа p, а в случае функций — нет. Например, правильно будет сказать, что функция sinx, наряду с периодом 2π, имеет периоды 4π,6π,..., а у цикла отображения есть только один период.

Вообще, подмножество Y в X называется инвариантным множеством динамической системы (X,N) или отображения N, если оно переводится отображением N в себя, так что N(Y ) ⊂ Y . Это означает, что для любого x ∈ Y и его образ Nx ∈ Y . В этом случае можно рассмотреть сужение

отображения N и ввести в рассмотрение новую динамическую систе-

му

.

Движение динамической системы может стремиться и к более сложному множеству, чем цикл. Например, даже для простого квадратичного отображения (4.6) случается, что движения стремятся к канторову множеству (это было доказано моими учениками Ю. С. Барковским и Г.М. Левиным (1980) и одновременно польским математиком Мисюревичем).

Но, конечно, бывает и так, что движение x_n уходит на бесконечность.

Надо сказать, что достаточно удивительным образом движения каскадов могут быть сложнее, чем движения потоков. Например, как Вы знаете из теории дифференциальных уравнений, поведение решений скалярного автономного уравнения x˙(t) = f(x) очень просто: всякое решение x(t), скажем, при t > 0, либо 1) уходит на бесконечность за конечное время, либо 2) x(t) → +∞ (−∞) при t → +∞, либо 3) стремится к некоторому равновесию x(t) → x_∗ при t → +∞, причем f(x_∗) = 0. Между тем, одномерное отображение (4.6) демонстрирует весьма сложное поведение. Заметьте, что уравнения типа (4.6) получаются из дифференциального уравнения при дискретизации, когда мы решаем задачу Коши численно, например, методом Эйлера. Такое резкое различие в качественном поведении движений лишний раз напоминает нам, как осторожно нужно относиться к выводам, полученным в результате приближенных вычислений, в особенности, когда речь идет о решении уравнений на больших промежутках времени.

Теорема Шарковского. В 1964 году советский математик А.Н. Шарковский доказал совершенно фантастическую теорему о циклах отображения прямой [51]. Довольно долго эта теорема была мало известной, и несколько американских математиков стали знамениты, доказав на десяток лет позже некоторые, наиболее простые частные случаи этой теоремы.

А.Н. Шарковский весьма изящно изложил свою теорему, введя cпециальный порядок на множестве N натуральных чисел. Для каждой пары натуральных чисел, скажем p и q, вводится соотношение p ≺ q, которое читается как “p предшествует q ”. Будем также писать

и говорить, что q следует после p (можно не читать дальнейшее пояснение, если Вам понятна нижеследующая запись (4.10)). При этом первым числом считается число 3, за ним все нечетные числа, расположенные в обычном порядке возрастания. Далее следуют числа вида (4.10) (2n − 1) · 2, тоже в обычном порядке возрастания, начиная с числа 3 · 2. Затем идут все числа вида (2n − 1) · 2², числа вида (2n − 1) · 2³ и т. д. Кончается эта последовательность числами вида 2ⁿ, но записанными в обратном порядке, так что последними оказываются числа 2³ ≺ 2² ≺ 2 ≺ 1. Ясно, что всякое натуральное число можно представить в виде произведения некоторой степени двойки и нечетного числа. В итоге, всевозможные натуральные числа располагаются в следующем порядке

3 ≺ 5 ≺ 7 ≺ 9 ≺ 11... ≺ 3 · 2 ≺ 5 · 2 ≺ ... ≺ 3 · 2² ≺ 5 · 2² ≺ ... ≺ ≺ 3 · 2³ ≺ 5 · 2³ ≺ ...2³ ≺ 2² ≺ 2 ≺ 1.

(4.10)

Эта упорядоченность не используется при доказательстве, но позволяет сформулировать теорему в очень изящной форме.

Теорема 1 (А.Н. Шарковский, 1964). Пусть динамическая система с дискретным временем (R,T) определяется непрерывной скалярной функцией f(x) для x ∈ R. Отображение T : R → R определено равенством Tx = f(x) для любого x ∈ R.

Предположим, что данная система имеет цикл периода p, тогда она также обладает циклом любого периода

.

Из этой теоремы, в частности, следует, что при условии существования цикла периода 3 существуют циклы всевозможных периодов, и, в частности, неподвижная точка отображения T (цикл периода 1)! Вы сами сможете извлечь из этой теоремы другие удивительные следствия. Например, если имеется цикл периода 8, то существуют также циклы периодов 4, 2 и 1. При этом можно построить отображение, у которого нет циклов других периодов. В этом смысле теорема Шарковского точна.

Различные авторы приложили немало усилий в попытках перенести теорему Шарковского на многомерные отображения. Известные ныне аналогичные результаты относятся, однако, лишь к некоторым очень частным классам отображений. Усилия исследователей в этом направлении продолжаются.

Периодические системы и оператор монодромии. Следующими по сложности после автономных систем идут периодические системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

x˙ = F(x,t) (4.11)

в банаховом пространстве X. Предположим, что векторное поле F зависит от времени периодически, с периодом p > 0

F(x,t + p) ≡ F(x,t). (4.12)

Поставим для этого уравнения задачу Коши с начальным условием

x(0) = a. (4.13)

Предположим, что для любого a ∈ X существует единственное решение x(t) задачи (4.11)–(4.13), определенное для t ∈ [0,p]. Это означает, что существует оператор монодромии M_p : X → X, определяемый равенством

M_pa = x(p). (4.14)

Теперь понятно, что можно, и это оказывается весьма полезным, ввести в рассмотрение динамическую систему с дискретным временем (X,M_p).

При этом фазовое пространство X остается прежним, но вместо потока

мы рассматриваем отображение M_p : X → X.

Ясно, что оператор монодромии M_p получается из эволюционного оператора

уравнения (4.11) при t = p, так что . (Здесь индекс 0 отвечает выбору начального момента t = 0). Очевидно также, что в моменты времени t = p,2p,...,np, имеем . Однако переход от эволюционного оператора к оператору монодромии не есть квантизация, потому что для неавтономного уравнения (4.11) эволюционный оператор не обладает групповым свойством, не удовлетворяет принципу причинности, не порождается динамической системой. Впрочем, понятие квантизации можно естественно обобщить и на неавтономные системы. Дальше при обсуждении неавтономных дифференциальных уравнений мы рассмотрим обобщенный принцип причинности и его следствия для случая периодических дифференциальных уравнений.

В теории периодических дифференциальных уравнений переход к дискретной динамической системе оказывается весьма полезным, например, при исследовании устойчивости периодических движений. На практике оператор монодромии остается неизвестным даже для линейного периодического уравнения (4.11) и не задается какими-либо явными формулами, но его вполне можно и нужно вычислять при помощи компьютера. Многие фундаментальные свойства оператора монодромии оказывается возможным исследовать, основываясь лишь на его определении посредством дифференциального уравнения — чем и гордится математика (точнее, раздел качественной теории дифференциальных уравнений).

Отображение Пуанкаре. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение

x˙ = F(x) (4.15)

в Rⁿ. Предположим, что нам известна гиперповерхность S (например, заданная скалярным уравнением Φ(x) = 0), обладающая следующим свойством (см. Рис. 1): для любой точки x₀ ∈ S начатое от нее движение x(t) (то есть решение задачи Коши для уравнения (4.15) с начальным условием x(0) = x₀) возвращается на эту поверхность. Иными словами, существует t_∗ = t_∗(x₀) > 0 такое, что x(t_∗) ∈ S.