Математические модели естествознания (стр. 9 из 64)

Гиперповерхность, обладающая этим свойством, называется гиперповерхностьюПуанкаре. Чаще говорят поверхностьПуанкаре, хотя формально это правильно лишь при n = 3 (поверхность двумерна, по определению).

Понятно, что движущаяся точка x(t) вернется на поверхность S бесконечно много раз. Пусть t_∗ = t_∗(x₀) > 0 — момент первого возвращения. Отображение Пуанкаре Π : S → S определяется равенством

Πx_o = x(t_∗). (4.16)

Рис. 1

Таким путем мы определим динамическую систему с дискретным временем (S,Π). При этом S — ее пространство, а Π : S → S — отображение. Исследование поведения движений системы (4.15) — во всяком случае, тех, которые пересекают поверхность S — в значительной мере сводится к исследованию итераций Πⁿ отображения Пуанкаре. Если, например, x₀ — неподвижная точка отображения Π, так что Πx₀ = x₀, то соответствующее движение x(t) — периодическое. Его период есть p = t_∗(x₀).

К сожалению, нет общего способа найти поверхность Пуанкаре для заданной автономной системы. Известны лишь различные частные приемы такого построения. Пусть, например, мы знаем p–периодическое решение x(t) уравнения (4.15). Его траектория есть замкнутая кривая (цикл) (см. Рис. 1), стрелка, как обычно, указывает направление движения.

Выберем какую-нибудь точку x₀(t) на этой траектории и проведем через нее малую площадку S, трансверсальную к циклу Γ (то есть не касательную к Γ). Если точка x₀ ∈ S достаточно близка к x(t₀), то пользуясь теоремой о непрерывности решения задачи Коши от начальных данных, нетрудно установить, что движение x(t), начатое с точки x₀, вернется на поверхность S. Тем самым для таких точек x₀ определено отображение Пуанкаре Π : x₀ →7 Πx₀. Нет гарантий, правда, что итерации Πⁿx₀ останутся на поверхности S. Это приходится доказывать отдельно. Данное построение входит существенной составной частью в доказательства теорем об устойчивости и неустойчивости периодических автоколебательных режимов (решений уравнения (4.15)). Существенно также, что при достаточно малом возмущении цикла, скажем, вызванного малым изменением параметров задачи, та же самая площадка остается поверхностью Пуанкаре. В ряде случаев таким путем удается обнаружить новые циклы, ответвляющиеся от известного при изменении параметров.

Проблема вложения каскада в поток. Давно и довольно естественно возник вопрос, можно ли данную динамическую систему (X,N) с дискретным временем вложить в поток, то есть получить посредством квантизации из некоторой динамической системы с непрерывным временем. Оказывается, это возможно далеко не всегда, и условия, когда это возможно, в точности неизвестны. Я сейчас расскажу о двух препятствиях к такому вложению, ограничиваясь случаем, когда X = Rⁿ.

Необратимость. Предположим, что нам удалось построить такое автономное дифференциальное уравнение x˙ = F(x) с гладким векторным полем F(x) и эволюционным оператором N^t так, что при некотором шаге квантизации h получается равенство N^h = N. Но оператор N^t для каждого t обратим, значит, и N^h обратим. Об этом говорят теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Выходит, что необратимое отображение N невозможно вложить в поток. Отображение N : x 7→ bx(1 − x) в модели популяции бабочек как раз необратимо. Потомуто так сложна определяемая им динамика на отрезке [0,1], а для скалярных дифференциальных уравнений x˙ = f(x) все очень просто. Решения либо уходят на бесконечность, либо стремятся к равновесиям.

Несохранение ориентации. Всякий эволюционный оператор N^t, наряду с обратимостью, имеет еще свойство сохранять ориентацию.

Ориентацию пространства Rⁿ можно задать, фиксируя упорядоченный базис e₁,e₂,...,e_n этого пространства. Его мы объявляем положительным. После этого все остальные мыслимые упорядоченные базисы

разбиваются на два класса следующим образом. Определим

линейный оператор J : Rⁿ → Rⁿ его действием на элементы исходного базиса, полагая

для k = 1,2,...,n. Если определитель detJ > 0, то базис назовем положительным, а при detJ < 0

— отрицательным. Очевидно, что при малых деформациях положительного базиса получается также положительный базис. Действительно, при сохранении базиса J = I, detI = 1, а при его малом изменении элементы определителя меняются мало, и строгое неравенство detJ > 0 сохраняется. Отсюда нетрудно заключить, что при непрерывном изменении положительного базиса всегда будет получаться также положительный базис, при непрерывном изменении отрицательного базиса — отрицательный.

Вообще, если подействовать линейным обратимым оператором A : Rⁿ →

Rⁿ на данный базис e₁,e₂,...,e_n, то получается новый базис Ae₁,Ae₂,...,Ae_n. Он останется положительным, если detA > 0. В этом случае мы скажем, что оператор A сохраняет ориентацию пространства Rⁿ. Если же detA < 0, то оператор меняет ориентацию: базис Ae₁,Ae₂, ...,Ae_n будет отрицательным. Случай detA = 0, конечно, исключен, потому что оператор предполагается обратимым.

Приведу пример. Пусть n = 3, e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0), e₃ =

(0,0,1). Если теперь провести перестановку и положить

,

, то соответствующий оператор J задается матрицей

. (4.17)

Очевидно, detJ = −1, так что базис

— отрицательный.

Типичным линейным оператором, нарушающим (говорят еще, меняющим) ориентацию, является оператор зеркального отражения, скажем, A : (x₁,x₂,x₃) 7→ (x₁,x₂,−x₃). Его определитель detA = −1.

Мы доказали, в частности, что невозможно непрерывным движением в пространстве R³ преобразовать правую перчатку — в левую. Этот факт очень волновал великого философа Э. Канта (не читали? почитайте!). Он даже считал, что основные законы арифметики, алгебры и геометрии являются врожденными, человек знает их от рождения. А вот для явлений, связанных с ориентацией пространства, делал исключение, считая, что они познаются лишь на опыте.

Для нелинейного гладкого отображения ϕ : Rⁿ → Rⁿ понятия сохранения и несохранения ориентации определяются лишь локально. Говорят, что отображение ϕ сохраняет ориентацию в точке x ∈ Rⁿ, если в этой точке положителен его якобиан: det_ϕ⁰(x) > 0. Замечу, что производная _ϕ⁰(x) — линейный оператор и в стандартном базисе e₁,...,e_n задается матри-

цей Якоби

.

Нетрудно доказать, что эволюционный оператор дифференциального уравнения x˙ = F(x,t) в Rⁿ с гладким полем F всюду сохраняет ориентацию. Действительно, чтобы установить сохранение ориентации в точке x₀, найдем соответствующее решение задачи Коши x(t) = N^tx₀. Теперь нам нужно найти производную (N^t)⁰(x₀) и вычислить ее детерминант. Нетрудно показать, что вектор-функция u(t) = (N^t)⁰(x₀)u₀ является решением линеаризованной на x(t) задачи Коши

u˙ = F_x(x(t),t)u, u(0) = u₀. (4.18)

Это означает, что операции вычисления эволюционного оператора N^t и линеаризации перестановочны (Докажите это самостоятельно). Но из курса

5 Интегралы и законы сохранения

обыкновенных дифференциальных уравнений мы знаем, что для векторного линейного уравнения в Rⁿ

u˙ = A(t)u (4.19)

справедлива формула Лиувилля. Пусть U^t — эволюционый оператор уравнения (4.19), а его определитель есть detU^t = W(t). Это вронскиан, отвечающий фундаментальной системе решений u₁(t) = U^te₁, ..., u_n(t) = U^te_n с базисными векторами e₁,...,e_n в качестве начальных данных. Тогда

t

^R spA(τ)dτ

W(t) = W(0)e⁰ . (4.20)

Из этой формулы Лиувилля следует, что W(t) остается положительным для всех t, если он положителен при t = 0. Но W(t) = 1 при t = 0, так что W(t) > 0.