Математические модели естествознания (стр. 1 из 64)
ББК 22.143я73 К85
Юдович В.И.
К85 Математические модели естествознания. Курс лекций / В.И. Юдович. — М.: Вузовская книга, 2009. — 288 с.
ISBN 5-9502-0176-0
Курс лекций по математическим моделям естествознания В.И. Юдовича состоит из трех частей: «Математические модели», «Механика», «Элементы статистической механики».
Для студентов и преподавателей технических и экономических вузов, математических, механико-математических и естественно-научных факультетов и факультетов компьютерных наук и информационных технологий.
ББК 22.143я73
Учебное издание
ЮдовичВикторИосифович
МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
КУРСЛЕКЦИЙ
Книга издана в авторской редакции
Ответственный редактор Н.Г. Карасева
Технический редактор П.С. Корсунская Компьютерная верстка И.В. Островская
Подписано в печать 11.03.2009. Формат 60x84 1/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 34,17. Тираж 300 экз.
ЗАО «Издательское предприятие «Вузовская книга»
125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4, МАИ, Главный административный корпус, к. 301а.
Т/ф (499) 158-02-35. E-mail: vbook@mai.ru; vbook@mail.ru
c Юдович В.И., 2004
c ЗАО «Издательское предприятие
ISBN 5-9502-0176-0 «Вузовская книга», 2009
ОБАВТОРЕИЭТОЙКНИГЕ
Эта книга — курс лекций по математическим моделям естественных наук глубокого математика и механика, создателя научной школы по математической гидродинамике, профессора Виктора Иосифовича Юдовича (4.10.1934–19.04.2006).
Вся жизнь В.И. Юдовича связана с Ростовским государственным университетом (РГУ, ныне ЮФУ), куда он поступил на физмат в 1952 году и где через пять лет стал преподавать. После разделения физмата работал на механико-математическом факультете (мехмате), ведя интенсивную научную и преподавательскую работу, создавая свою научную школу и кафедру. Кандидатскую диссертацию В.И. Юдович защитил в МГУ, докторскую – в Институте проблем механики АН СССР, был членом редколлегий, ученых советов, председателем диссертационного Совета, президентом Ростовского математического общества.
Энциклопедически образованный, талантливый во всем и расположенный к людям В.И. Юдович занимался гидродинамикой, для решения сложнейших проблем которой освоил все, что могло помочь ему в исследовании проблемы турбулентности. Его понимание уравнений математической физики, теории динамических систем и многих разделов математики и механики было уникальным. Более сорока лет семинару В.И. Юдовича по математической гидродинамике, куда приезжали люди из разных мест: «доклад у Юдовича» означал высокий уровень экспертизы и зачастую самому докладчику давал лучшее понимание сделанного и прояснение перспектив работы.
На мехмате РГУ В.И. Юдович прочел множество курсов: от теории функций действительного переменного до механики сплошной среды. Это были оригинальные курсы, содержательные идейно и технически, сочетавшие научную точность и богатство русского языка. Остались конспекты прочитанных лекций, эти записи активно используются и помогают преподавателям. По ряду курсов В.И. Юдович подготовил печатные варианты. Это две книги «Лекции об уравнениях математической физики», с белой и синей обложками. К сожалению, не закончена третья часть, которая должна была выйти с красной обложкой, чтоб получился триколор. Двумя изданиями вышел «Практикум по решению дифференциальных уравнений»,
Об авторе и этой книге
написанный в соавторстве с А.А. Есиповым и Л.И. Сазоновым. В.И. Юдович говорил, что интересен новый предмет – поэтому, «поставив» тот или иной курс, передавал его ученикам.
Даже появлению первой в мире монографии по математической теории электрофореза (В.Г. Бабский, М.Ю. Жуков, В.И. Юдович, 1982 г.) предшествовал цикл лекций по моделированию задач массопереноса под действием электромагнитного поля. Помимо входивших в преподавательскую нагрузку лекций и заседаний еженедельного семинара, В.И. Юдович каждый год организовывал микросеминары, посвященные новым проблемам гидродинамики и математики. Прочитанные там лекции вводили учеников Юдовича и всех желающих в новые разделы и новые задачи, из этих лекций вырастали темы будущих исследований. Обзорные статьи В.И. Юдовича, написанные в начале 21 века, – попытка передать, сохранить свое понимание математической гидродинамики, которую он развивал до последних дней. В.И. Юдович был Учителем, ему было важно, чтобы начатые им исследования и работы продолжались трудами его сотрудников, он многое сделал для того, чтобы развивались механика и математика в Ростове, России и мире.
Курс математических моделей естественных наук (естествознания) первый раз был прочитан им в 1991 году для студентов четвертого курса специальности «прикладная математика» мехмата. С каждым годом курс развивался, пополняясь новым материалом, в планах было включение в курс разделов по термодинамике, конвекции. Подготовкой печатного варианта лекций В.И. Юдович занимался, уже борясь с болезнью, он работал над «Математическими моделями» до последних дней. Эти лекции были размещены на кафедральном сайте, и немало читателей поделилось своими замечаниями и советами. Особая благодарность студентам мехмата 20062008 гг., активно участвовавшим в устранении опечаток, уточнении ссылок и др. В интернетовском ресурсе vkontakte.ru появилась инициированная студентами «Группа любителей литературного таланта В.И. Юдовича».
В наборе и правке текстов участвовали О.А. Цывенкова, Е.В. Ширяева и И.В. Островская, взявшая на себя труд финальной редактирования и верстки. Тексты вычитывали М.Ю. Жуков, С.М. Зеньковская, Л.И. Сазонов и В.Г. Цибулин, занимавшийся подготовкой издания.
ПРЕДИСЛОВИЕАВТОРА
Цель этого курса — рассказать об основных моделях естествознания, научить подходам к исследованию явлений природы, её фундаментальных законов на основе математического анализа. Это — лекции. И хотя письменный курс не повторяет дословно то, что говорится на занятиях, я стараюсь сохранить стиль живого разговора с живой аудиторией.
До сих пор образцом для построения математических моделей служит механика, начиная с классического труда Ньютона «Математические основы натуральной философии» [32]. Дальнейшее развитие механики вплоть до XIX века, связанное с именами, пожалуй, всех великих математиков и физиков XVII–XX в.в. — Декарт, Гюйгенс, Лейбниц, Ферма, Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Гаусс, Герц, Максвелл, Пуанкаре — привело к построению грандиозного здания механики систем с конечным числом степеней свободы, а также и механики сплошной среды. Вся история науки ясно показывает, что каждый серьёзный новый шаг в исследовании природы бывает неразрывно связан с развитием новых математических теорий. Нужно ли напоминать, что научные открытия непосредственно влияют на развитие технологии, а тем самым и на образ жизни людей?
Время от времени возникают споры о том, какое достижение математики было самым важным и кто из математиков был самым великим. (Я не считаю такие обсуждения слишком уж серьёзными, но всё-таки...). Очень многие считают, что главным достижением было введение позиционной системы счисления, а ее автор, имя которого неизвестно (возможно, араб, а, скорее всего, индус), и был величайшим из математиков на нашей планете. С этим можно поспорить. Я склонен думать, что величайшим достижением математики является, быть может, оглавление современных книг по глобальной дифференциальной геометрии. Оно начинается с понятий топологического и метрического пространств. Затем рассматриваются многообразия, векторные поля, дифференциальные формы, тензорные поля, геодезические на многообразиях, кривизны, вариационные принципы для геодезических, группы и алгебры Ли. Это оглавление представляет собой великий план исследования, созданный и реализованный прежде всего в механике, усилиями едва ли не всех ведущих математиков трех столетий. Оказалось, что геодезические линии в геометрии в точности соответствуют движениям в механике. Далее выяснилось, что явления, с виду совершен-
Предисловие автора
но непохожие на механические движения тел, описываются по сути теми же законами, лишь с некоторыми изменениями, носящими мало принципиальный характер с точки зрения общих геометрических теорий. Например, в основе электродинамики лежат вариационные принципы, установленные впервые в механике. Теория относительности с ее головокружительными следствиями тоже оказывается с формальной стороны не более, чем одной из глав механики.
План описания природы, созданный в механике и связанный, главным образом, с дифференциальной геометрией, является неким идеальным образцом для других наук. Однако полностью он не реализован даже в физике (за исключением, может быть, некоторых её областей, скажем, термодинамики). Время покажет, насколько этот план универсален, может ли он быть реализован, скажем, в биологии или придётся создавать иные планы. Пока что мы очень далеко от ответа на этот вопрос, хотя в различных частных областях биологии, химии, экономики применение идей и методов механики и математической физики дало уже немало интересных и глубоких результатов.
Сейчас постоянно употребляются названия «математическая физика», «математическая химия», «математическая биология», «математическая экономика». Но нет никакой «физической» или «биологической» математики. Правда, в последнее время стал мелькать термин «финансовая математика», но это лингвистическое недоразумение. По-английски говорят mathematical finance, математические финансы. Это, однако, неудобопроизносимо, что и привело к появлению «финансовой математики». Некоторые недалекие люди приняли это недоразумение всерьез и предлагают учить детей складывать и вычитать не яблоки и палочки, а доллары и рубли, и дальше продолжать развивать математику в том же духе. Ну, конечно, я считаю это чушью. На самом деле, в «финансовой математике» применяются всё те же методы математического анализа, алгебры, теории вероятностей, теории меры. Решаются уравнения, по сути (а то и вовсе ничем) не отличающиеся от уравнений математической физики. Кстати, высокомерное отношение математиков к этой области не очень оправдано. Конечно, халтурщики есть во всех областях, а в новых (модных, престижных и денежных) областях их в процентном отношении бывает чуть больше, но и в финансовой математике ставятся и решаются замечательно интересные математические задачи.