Проведение расчетных итераций является полностью компьютеризированной частью анализа рисков проекта в методе Монте-Карло. 200-500 итераций обычно достаточно для хорошей репрезентативной выборки. В процессе каждой итерации происходит случайный выбор значений ключевых переменных из заданного интервала в соответствии с вероятностными распределениями и ус-
103
л о виями корреляции. Затем рассчитываются результирующие показатели (например, NPV).
Завершающая стадия анализа проектных рисков - интерпретация результатов, полученных в процессе итерационных расчетов. Результаты анализа рисков можно представить в виде профиля риска. На нем графически изображается вероятность получения возможных значений результирующего показателя.
Сначала рассмотрим интерпретацию результатов моделирования методом Монте-Карло в случае с оценкой одного инвестиционного проекта: нужно принять проект или отвергнуть его. На рис.2.4.2 показаны три возможных случая размещения итогового профиля риска относительно нулевой отметки.
3
>.
NPV
Рис. 2.4.2. Возможные положения профиля риска для NPV.
Кривая 1 показывает случай, когда минимально возможное значение NPV больше нулевого. Вероятность того, что NPVO, равна 0, значит, в данном случае проект принимается. Кривая 2 показывает случай, когда максимально возможное значение NPV меньше нулевого. Вероятность того, что NPV>0, равна 0, значит, в этом случае проект должен быть отвергнут.
Кривая 3 показывает случай, когда максимальное значение NPV больше, а минимальное меньше нулевого. Так как NPV может быть как отрицательным, так и положительным, решение будет зависеть от предрасположенности инвестора к риску. По-видимому, если математическое ожидание NPV меньше или равно 0 (пик профиля рисков слева от вертикали или вертикаль точно проходит по пику), проект должен отклоняться. В случае, когда математическое ожида-
104
ние NPV больше нуля, нужно учесть дисперсию значений этого показателя. От уровня склонности инвестора к риску будет зависеть приемлемое значение дисперсии при данном ожидаемом значении NPV.
Теперь рассмотрим интерпретацию результатов моделирования методом Монте-Карло в случае выбора среди нескольких альтернативных инвестиционных проектов. Расчет среднего значения и дисперсии показателя NPV может быть проведен с помощью метода Монте-Карло при заданных распределениях значении вхолных переменных. A ROT выбор между парами значении лих показателей для разных инвестиционных проектов- это уже выбор субъективный [206]. Разные инвесторы сделают разные выборы. Очевидно, что если проект А имеет более высокий ENPV и меньшую дисперсию, чем проект В, то инвестор выберет проект А. В других случаях ситуация не так очевидна.
На рис. 2.4.3 представлено несколько комбинаций среднего и дисперсии, представляющие разные инвестиционные проекты. Комбинации F и Е можно отвергнуть. У F такая же средняя, как и у А, а дисперсия больше. У Е дисперсия такая же, как у D, а средняя ниже. Остальные проекты находятся в области ранных возможностей: большее среднее сочетается с большей дисперсией. Инвестор сам должен выбрать среди оставшихся альтернатив с учетом своей склонности к риску. Теоретически процесс субъективного выбора может быть формализован путем использования функции полезности U = f(ENPV, aNPV). U показывает уровень ожидаемой полезности.
F.NPV
О
NI'V
Рис.2.4.3. Комбинации «среднее-дисперсия».
и,
105
Введем кривые безразличия, каждая из которых отражает такую комбинацию среднего и дисперсии, которые дают одинаковое удовлетворение данному инвестору. Уровень полезности U2 выше, чем уровень Uj. Значит, проекты В и С равнозначны и более предпочтительны, чем другие. На практике кривые безразличия редко применяются, поскольку построить их довольно трудно. Для упрощения можно предположить, что кривые безразличия - это прямые, выходящие из начала координат (рис.2.4.4).
1-NPV
/ /
U34J2HH
Рис.2.4.4. Кривые безразличия.
Тогда U = ENPV / CTN|.V = 1/с, где с - коэффициент вариации.
Получаем простое правило принятия решения: чем ниже коэффициент вариации, тем больше полезность инвестиции. Т.е. коэффициент вариации может отражать не только степень риска, но и степень полезности инвестиционного проекта.
Критерий эффективности «среднее-дисперсия» можно усовершенствовать, отбросив некоторые комбинации в области равных возможностей на основе применения принципа стохастического доминирования. Говорят что инвестиция А доминирует над инвестицией В по некоторому критерию, если все инвесторы, используя этот критерий, предпочтут инвестицию А.
Если А доминирует над В, то
ENPVA > ENPVB И CTN|>V2 Л < aNPV2 ».
Эффективная граница «среднее-дисперсия» - это множество инвестиций, между которыми нет доминирующих отношений. Однако даже среди инвест-
106
ций на эффективной границе есть такие, которые явно более предпочтительны, чем другие.
Рассмотрим числовой пример. Есть два альтернативных проекта - А и В. Ожидаемые значения NPV для каждого из проектов и соответствующие вероятности показаны в таблице 2.4.1.
Таблица 2.4.1.
Проект А
Проект В
NPV (тыс.рчо.)
Р
NPV (тыс.]туб.)
0,1
65
0,1
65
0,05 0,05
85 90
0,15 672 5
80 100
0,2
105
0,2
ПО
0,3
115
0,2
125
0,15
130
0,1
140
0,05
135
-
-
0,1
150
-
-
Нужно выбрать один из альтернативных проектов.
ENPV(A) = 112 тыс.руб.; ENPV(B) = 104,5 тыс.руб.;
CTNpV2 (A) = 513,5; aNPV2 (В) = 467,25.
С точки зрения анализа «среднее-дисперсия» оба проекта находятся на границе эффективности. Определим некоторые вероятности. Для проекта А -значение показателя NPV не может быть меньше 65.
Т.е. для всех х<65, P(NPV>x) = 1;
для 65<х<85, P(NPV>X) = 0,9 и т.д.
Можно построить следующий график (рис.2.4.5).
Для всех значений х вероятность P(NPV>x) для проекта А или такая же или превышает подобную вероятность для проекта В. Значит, для всех инвесторов проект А будет более предпочтителен, чем проект В. В этом случае говорят о наличии стохастической доминанты первой степени.
107
P(NPV>x)
1,0
Ч
в
А
1
65
Рис.2.4.5. Распределение вероятностей NPV>x.
150
Теперь рассмотрим стохастическую доминанту второй степени. Введем дополнительное предположение о том, что все инвесторы имеют стремление к снижению риска. Рассмотрим два проекта: А (табл.2.4.2) и В (табл.2.4.3).
Таблица 2.4.2.
11роекг Л
Р
NPV
X
P(NPV>x)
0,6
125
Х<125
1
0,4
230
125<х<230
0,4
230<х
0
Таблица 2.4.3.
Проект В
Р
NPV
X
P(NPV>x)
0,5
100
Х<100
1
0,5
200
100<х<200
0,5
200<х
0
Графики распределения вероятностей NPV>x для обоих проектов представлены на рис. 2.4.6. Обратим внимание на области Al, A2 и A3, так называемые, зоны стохастического доминирования и рассчитаем их площадь.
108
P(NPV>x)
1.0
Al
+ 12,5
В
А
A2
-7,5
АО
A3
+ 12
200 240 Рис. 2.4.6. Зоны стохастического доминирования.
Заметим, что ENPV(A) = АО + AI + A3; ENPV(B) = АО + А2
Необходимым условием для стохастического доминирования второй степени является: ENPV(A) > ENPV(B). В нашем случае, поскольку
А1 +А3> |А2|,
это означает, что инвесторы предпочтут выбрать проект А.
Часто при сравнении вариантов возможных инвестиций удобнее пользоваться кривой, построенной на основе суммы вероятностей (кумулятивный профиль риска). Такая кривая показывает вероятность того, что результирующий показатель проекта будет больше или меньше определенного значения. Проектный риск, таким образом, описывается положением и наклоном кумулятивного профиля риска. Кумулятивный профиль риска более полезен в случае выбора наилучшего проекта из представленных альтернатив, в то время как некумулятивный профиль риска лучше отражает вид распределения результирующего показателя.
109
проект В
NPV
ппроект А
NPV
Рис.2.4.7. Кумулятивный профиль риска (вверху) и некумулятивный профиль риска (внизу).
На рис.2.4.7 показан случай взаимного расположения кумулятивного и некумулятивного профиля рисков двух альтернативных проектов. При фиксированной вероятности отдача проекта В всегда выше, нежели у проекта А. Кумулятивный профиль рисков также говорит о том, что при фиксированном NPV вероятность, с которой тот будет достигнут, начиная с некоторого уровня, всегда будет выше для проекта В, чем для проекта А. Таким образом, можно вывести правило: если кумулятивные профили рисков двух альтернативных проектов не пересекаются ни в одной точке, тогда следует выбирать тот проект, профиль рисков которого расположен правее.
На рис.2.4.8 показан другой случай взаимного расположения профилей рисков двух альтернативных проектов.
Склонные к риску инвесторы предпочтут возможность получения высокой прибыли и, таким образом, выберут проект А. Не склонные к риску инвесторы предпочтут перспективу понести небольшие потери и, вероятно, выберут проект В. Можно сформулировать следующее правило: если кумулятивные профи-
по
ли риска альтернативных проектов пересекаются в какой-либо точке, то решение об инвестировании зависит от склонности инвестора к риску.
проект В „ - —
проект А
NPV
NPV
Рис.2.4.8. Кумулятивный профиль риска (вверху) и некумулятивный профиль риска (внизу).
Метод Монте-Карло не часто применяется на практике. Причины этого в следующем. Во-первых, трудно выявить все важные взаимозависимости переменных. Тем самым полученный профиль риска показателя эффективности проекта может не отражать реальной ситуации. Во-вторых, сложность построения модели может заставить руководство проекта делегировать эту работу экспертам. При этом возникает опасность того, что понимание руководством полученных результатов и, следовательно, доверие к ним могут быть снижены. В-третьих, результатом моделирования является профиль риска, как правило, по-