С = 0,34 * е чш * (137,89 - 120) = 5,4 руб.
Формулу расчета цены опциона в случае с непрерывным временем впервые предложили Блэк и Шоулз [109]. Получить выражение для вероятности р довольно просто, но для условного математического ожидания Е [ST|ST > X] это сделать значительно труднее. Мы ограничимся тем, что выведем правило для вычисления вероятности, а для условного математического ожидания просто сформулируем окончательный результат. Соединив два эти выражения, мы получим формулу Блэка-Шоулза.
174
0.02
Среднее = 112,75 Ст.откл. = 22,55
0.015
0.01
0.005
50 75 '100 '125 150 '175 '200 цена
Рис,3.2.3. Логарифмически нормальное распределение цены.
Нахождение вероятности того, что цена основного актива в день погашения превысит некоторую критическую цену X, равнозначно нахождению вероятности того, что доходность за этот срок превысит соответствующее критическое значение гХ. В такой формулировке задача становится проще, поскольку доходность подчиняется нормальному распределению, а с нормальным распределением работать легче, чем с логарифмически нормальным. Так как доходность была определена как логарифм ценового отношения, поэтому искомая вероятность р определяется равенством
р = Prob{ST>X} = Prob{Доходность > ln(X/S0)}, (8)
где So — начальная цена основного актива.
Вероятность того, что значение нормально распределенной величины х превысит некоторое критическое значение хсп1, выражается следующей общей формулой:
Prob[x>xCri,]=l-N[(xcril-m*)/s*], где m *— среднее значение величины х, s * — стандартное отклонение х,
(81)
N(-) — функция стандартного нормального распределения.
175
Чтобы воспользоваться соотношением (8), нам нужно найти т* и s* — среднее значение и стандартное отклонение доходности. Равенство (4) дает нам выражение для среднего ожидаемого значения ценового отношения Sy/So. Если мы определим величину г соотношением
г = m + 0,5s 2
то равенство (4) запишется в более простом виде:
Е [In S , / S „ ] = е " (9)
Введенная величина г — не просто удобное обозначение для выражения (m+0,5s~), — это как раз и есть непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка. Может показаться удивительным, что для оценки таких явно рисковых вложений, как опционы, применяется именно эта ставка. Объяснение позволяет получить так называемый метод нейтрализации риска.
В основе метода нейтрализации риска лежит возможность построения безрискового портфеля за счет сочетания в определенной пропорции опциона и основного актива. На самом деле этот же подход лежит в основе биномиального метода оценивания опционов, который обсуждается в следующем разделе. Безрисковый портфель — это такой портфель, который обеспечивает один и тот же финансовый результат при любых обстоятельствах, и поэтому все будущие потоки наличности нужно лишь дисконтировать по безрисковой процентной ставке. При таком портфеле предпочтения инвестора в отношении структуры риска роли не играют, и портфель будет оцениваться одинаково и инвестором, склонным к риску, и инвестором, избегающим риска.
Заметим, что нейтрализация риска вовсе не означает, что цены всех финансовых активов будут расти в соответствии с безрисковой ставкой из соотношения (9). Утверждается лишь, что цена опциона получится одной и той же независимо от того, будем мы пользоваться безрисковой ставкой или какой-то другой, более высокой процентной ставкой. Выбор более высокой ставки означал бы ожидание более быстрого роста цен основных активов, однако, при этом
176
и выплаты по опциону на эти активы придется дисконтировать назад по более высокой ставке, и эти два эффекта друг друга погасят. Равенство (3) теперь принимает вид
E[lnSt/S(,] = (r-l/2S2)t =m*,
что дает выражение для средней ожидаемой доходности т*. Стандартное отклонение доходности определяется соотношением (1) и равно s ,. Из соотношений (8) и (8Л) получаем:
Prob [S| > X] = Pfob [доходность > In X/S(,| = = 1— N |(In (X/S,,) +(r - Vz s :) l)/s V t ].
Из симметрии нормального распределения следует, что 1 - N(d) = N(-d), поэтому
р = Prob [ST > X] = N ((In (S,,/X) +(r- Vi s 2)t) / s V t). (10)
Подставив числовые значения из предыдущего примера, получим уже указанное ранее значение вероятности р;
Prob[S i>Х] = N (1п( 100/120)+(0,12 - 0,22/2)* 1) / 0,2) = = N(-0,4116) = 0,34
Чтобы найти выражение для величины Е [Sr| ST > X], нужно проинтегрировать функцию логарифмически нормального распределения в пределах от X до бесконечности. Если проделать это, то в результате получится:
H[ST|S,>X] = S()*en*N(d,)/N(d2), (11)
где d, = (In (S</X) + (г + i/2 s 2)t) / s V t и d2 = d| - s Vt.
Подставляя (10) и (11) в равенство (7), приходим к окончательной формуле для стоимости колл опциона:
C = S0*N(d,)-X*e"rt*N(d2).
Это и есть знаменитая формула цены опциона Блэка-Шоулза. Справедливая цена колл опциона может быть вычислена с помощью всего одной формулы. Для получения стоимости опциона по формуле Блэка-Шоулза на практике
177
можно использовать табличные значения (таблица А1, Приложение 1; таблица А2, Приложение 2),
Во-первых, нужно рассчитать (s V t), чтобы найти соответствующую колонку, затем рассчитать S/PV(E), чтобы определить соответствующую строку (или из S/ (X е ~"), или из S/ (Е/(1+г)')). На пересечении строки и столбца находится стоимость опциона, по отношению к цене его актива, значит, нужно будет умножить табличное значение на цену актива S, чтобы получить цену опциона. Для определения стоимости европейского колл опциона нужно использовать таблицу А1, для определения стоимости европейского пут опциона -таблицу А2.
Предположения модели Блэка-Шоулза.
Нормальное распределения доходности — это основное предположение, принятое в модели Блэка-Шоулза. Кроме этого, модель использует еще ряд предположений, а именно:
• основные активы свободно продаются и покупаются, в том числе в дроб
ных долях,
• допускается "короткая" продажа (продажа без покрытия) основных акти
вов, при этом продавец может пускать полученную наличность в оборот,
• никаких дивидендов или иных выплат по основным активам до исполне
ния опциона не предусматривается,
• допускается привлечение и размещение наличности по той же самой без
рисковой процентной ставке (с непрерывным накоплением процентов),
• опцион относится к европейскому типу, и до дня погашения исполнен
быть не может,
• налоги, расходы на совершение сделок и выплаты маржи отсутствуют,
• цена основного актива с ходом времени меняется непрерывно (без скач
ков),
• характер изменчивости цены основного актива, а также процентная став
ка в течение срока действия опциона остаются постоянными.
•
178
На практике далеко не все из этих предположений в точности выполняются, для учета отклонений в основную модель вводят поправки (часто совсем простые). Достоинством модели Блэка-Шоулза являются простота формул и то, что она дает естественный и непротиворечивый метод оценивания. Поэтому модель была адаптирована к различным типам опционов, и в большинстве случаев практики предпочитают пользоваться моделью Блэка-Шоулза или ее модификациями, а не более сложными моделями.
Для задачи оценивания пут опционов не нужно разрабатывать отдельную модель, потому что цена колл опциона неразрывно связана с ценой пут опциона посредством соотношения, называемого теоремой пут-колл паритета [put-call parity theorem].
Чтобы понять ее суть, рассмотрим следующую последовательность сделок:
a) продать один колл опцион со сроком t и ценой исполнения X,
b) купить один пут опцион с теми же сроком и ценой исполнения,
c) купи1 ь актив,
d) занять наличность в размере Х*е"п, где г - непрерывно начисляемая
сложная безрисковая процентная ставка.
Если начальная цена основных активов равна So, цена колл опциона равна С, а цена пут опциона равна Р, то совокупный поток наличности при совершении этих сделок составит:
C-P-So + ХеЛ
При исполнении опциона, независимо от цены актива, нужно будет вернуть заем, — это потребует выплаты X. Что произойдет затем, зависит от цены актива. Рассмотрим сначала случай, когда St > X. Колл опцион при исполнении будет выгодным, и продавец должен будет поставить актив по цене исполнения X. Полученная сумма как раз уйдет на погашение займа. Пут опцион при исполнении обесценится. Чистый поток наличности, таким образом, будет равен нулю.
170
Теперь рассмотрим случай, когда St < X. На этот раз колл опцион при исполнении обесценится, а пут опцион может быть предъявлен к исполнению. Его покупатель имеет право продать актив по цене исполнения X, эта сумма как раз уйдет на погашение займа. Поток наличности опять свелся к нулю. В том случае, когда в день исполнения St = X, оба опциона обесцениваются. Активы могут быть в этот момент проданы по рыночной цене, равной X, и полученная сумма пойдет на погашение займа. Чистый результат — опять нулевой.
Иными словами, во всех случаях эта совокупность сделок приводит к нулевому чистому потоку наличности. Но если итоговая стоимость портфеля всегда равна нулю, то и его начальная стоимость тоже должна быть равна нулю. Если бы она была отрицателыюй, то существовала бы возможность извлечения прибыли без риска. Если бы она была положительной, то безрисковую прибыль принесла бы совокупность обратных сделок. Это означает, что С - Р -S,, + X е "rt =0.
Следовательно,
Р = с - So + X с "rt.
Мы получили формулу, выражающую цену пут опциона через цену колл опциона. Поэтому специальная модель для определения цены пут опциона не нужна.
Для нестандартных инвестиционных возможностей, однако, формулы Блэ-ка-Шоулза оказывается недостаточно. Тогда поступают так: представляют стохастический процесс как геометрическое броуновское движение (ГБД), затем берут производные и решают соответствующие уравнения для частных производных. Иногда удается найти близкое формальное решение, но чаще приходится прибегать к аппроксимации. ГБД описывается следующим уравнением: