223
внимание различие в продолжительности их действия и офаничиться расчетом стандартных критериев.
В каждом из этих подходов есть общее предположение, что каждый последующий проект будет точно таким же, как и предыдущий. Это очень сильное допущение, поскольку через п лет (время осуществления проекта) могут измениться и процентные ставки, и начальные затраты, и денежные потоки. Если есть неопределенность по поводу будущих значений NPV, то нельзя предполагать, что оптимальное решение будет повторяться.
В случае многостадийного проекта традиционный подход предполагает, что руководство проекта остается пассивным и не может предпринимать не предусмотренных проектом шагов, даже если изменится ситуация. На самом деле, когда мы выбираем между двумя проектами с продолжительностью жизни п и т, мы должны выбирать между двумя составными проектами. Первый -выбрать проект А с продолжительностью п лет и получить опцион - через п лег выбрать между проектами А и В. Второй - выбрать проект В с продолжительностью m лет и получить опцион выбора между А и В через m лет.
В табл.3.3.4. представлены денежные потоки двух проектов А и В.
Таблица 3.3.4.
Год
Проект А
Проект В
0
-100
-99
1
5
11
2
5
11
3
125
11
4
11
5
111
NPV каждого проекта можно рассчитать так:
NPVa = (5/i)[l - (1 +i)"3]+ 120(1 + i)° - 100
NPVb = (ll/i)[l-(l +i)'5l+ 100(1 +i)"5-99
где i - ставка дисконтирования.
Графики NPV двух проектов представлены на рис.3.3.12.
224
NPV
В
A
Рис.3.3.12. Графики NPV проектов А и В.
Стандартный подход к решению проблемы, такой как непрерывная непочка повторений, предполагает сравнение NPV таких цепочек.
NPV (А, повтор) = NPVa / [1 - (1 + i)'3]
NPV (В, повтор) = NPVb / [1 - (1 + iy5]
NPV двух проектов при разных ставках дисконтирования представлены в табл.3.3.5.
Таблица 3.3.5.
NPV двух проектов.
i
NPVa
NPVb
NPV(A)*
NPV(B)*
NPV(A)*-NPV(B)*
0,01
31,18
49,53
1060,04
1020,60
39,44
0,02
27,5
43,42
476,75
460,61
16.15
0,03
23,96
37,64
282,35
273,95
8,41
0,04
20,56
32,16
185,17
180,62
4,56
0,05
17,28
26,98
126,88
124,62
2.26
0,06
14,12
22,06
88,04
87,29
0,75
0,07
11,08
17,4
60,3
60,63
-0,33
0,08
8,15
12,98
39,51
40,63
-1,12
0,09
5,32
8,78
23.35
25,08
-1.73
0,1
2,59
4,79
10,42
12,64
-2,22
0,11
-0,04
ко
-0,14
2,46
-2.6
0,12
-2,58
-2,6
-8,94
-6,02
-2.92
0,13
-5,03
-6,03
-16,38
-13,2
-3,18
0,14
-7,4
-9,3
-22,75
-19,35
-3,4
Допустим, что сейчас ставка дисконтирования 7%, тогда из таблицы следует, что NPVa = 60,3, NPVb = 60,63. Наш выбор в случае непрерывного повторения проектов - проект В (60,63>60,3).
225
Наличие опциона. Рассмотрим простой источник неопределенности и посмотрим, как он влияет на оптимальное решение. Предположим, что ставка дисконтирования - сначала 7%, и может измениться до 6 или 8% (с 50%-ой вероятностью) к концу третьего года. Если выбран проект А, то через три года компания столкнется с выбором между проектами А и В, когда с равной вероятностью ставка дисконтирования может быть и 6 и 8%. Точно такая ситуация будет, если выбран проект В.
Е:сли ставка дисконтирования будет 6%, то надо выбрать проект А (88,4>87,29). 1.:сли ставка диском тирования будет 8%, то надо выбрать проект В (40,63>39,51).
Если выбран проект А, тогда получим NPV:
NPVopt(A) - NPVa(7%) + 0.5 [NPVa(6%)/l,073 + NPVb(8%)/l,07'] =
= 11,0 + 0,5[88,04 + 40,63]/! ,073 = 63,59.
Если выбран проект В, тогда получим NPV:
NPVopt(B) = NPVb(7%) + 0.5[NPVa(6%)/l,075 + NPVb(8%)/l,075 =
- 17,4 + 0,5 [88,04 + 40,63]/1,075 = 63,27.
Таким образом, теперь наилучший выбор - проект А (63,59 > 63,27).
Начальный выбор проекта А со сроком п лет создает стоимость равную NPV денежных потоков за п лет плюс стоимость опциона выбора между А и В через п лет, но стоимость опциона в свою очередь зависит от стоимости выбора между А и В после следующих п или m лет (в зависимости от того, какой проект был выбран во второй раз) и так далее. Такой же анализ должен быть в случае начального выбора проекта со сроком m лет.
Решение этой проблемы не простое. В нашем примере мы упростили ситуацию, предположив изменение только ставки дисконтирования в определенный момент времени. В общем случае решение требует применения динамического программирования вместе с определением стохастической окружающей среды.
226
3.4. Методика оценки стоимости реальных опционов с помощью диаграмм влияния.
Анализ реальных опционов может очень быстро стать очень сложным. Сложность увеличивается вместе с увеличением одновременно моделируемых опционов и взаимозависимостей между ними. Для того чтобы сократить сложность модели и для математического удобства обычно делают несколько упрощающих предположений.
Для моделей опционом характерны следующие предположения [158]:
• есть только один реальный опцион, моделируемый и оцениваемый в
одно время;
• рынки целостные, фирма -- нейтральна к риску или риск полностью ди
версифицирован;
• есть только один источник неопределенности (если два, то они объеди
няются в один через соотношение);
• активы - продаются, сегодняшняя стоимость активов известна;
• ставки платежей не моделируются, они известны и постоянны, могут
быть определены из рыночных цен, или определены в постоянной про
порции к активам;
• безрисковая норма и дисперсия активов известны и постоянны;
• затраты известны;
• временной горизонт бесконечен (модели с непрерывным временем).
Из-за своей сложности методики, основанные на моделях оценки стоимости финансовых опционов, до сих пор редко применяется на практике. А с учетом указанных допущений результаты, полученные с помощью этих моделей, часто оказываются далеки от реального положения дел.
Модели оценки стоимости опционов очень сложны, и недостаточно просто учить специалистов-практиков их применять. Необходимо разработать более практичную методику, которая: не имеет столь серьезных ограничений; может
227
моделировать и оценивать стоимости инвестиционных возможностей за многие периоды времени, с множеством реальных опционов, множественной неопределенностью; может сделать оценку реальных опционов доступной практикам, корпоративным менеджерам, стратегам и другим ЛПР.
Альтернативой сложным моделям оценки реальных опционов могут быть более простые для понимания и использования методы дерева решений и диаграмм влияния. Анализ дерева решений это, наверное, один из наиболее известных и легких для понимания методов принятия решений. Деревья решении имеют много преимуществ при оценке инвестиционных проектов:
- гибко и наглядно отражают все альтернативные курсы действий;
могут моделировать любую стоимость или денежный поток;
- дают и стоимость проекта и оптимальные стратегии;
- с их помощью можно рассчитывать параметры, зависимые от состояния
и от времени.
Кроме того, деревья решений особенно полезны в тех случаях, когда неопределенность разрешается в дискретные моменты времени. Однако большинство исследовательских работ в области оценки инвестиционных проектов свидетельствуют о том, что анализ дерева решений - это наименее предпочитаемая методика принятия инвестиционных решений [118, 139, 155, 162, 176, 195, 201, 202].
Но в теории анализ дерева решений и модели оценки опционов приводят к идентичным решениям. Дерево решений и биномиальная модель графически представляют решение проблемы оценки инвестиционного проекта одним и тем же путем, и приводят к одинаковым результатам, если используют согласованные исходные данные.
Традиционный подход анализа дерева решений имеет две основные слабости. Первая - произвольность ставки дисконтирования, используемой для оценки дерева. Ставка дисконтирования для дерева в целом, когда есть опцион, не должна быть такой же, как в случае без опциона. И нет прямого пути определе-
228
ния соответствующей ставки дисконтирования для дерева решений. Вторая слабость связана с размером или сложностью дерева решений. Если количество опционов возрастает линейно, то количество сценариев в дереве растет экспоненциально.
Однако эти слабости не означают, что анализ дерева решений не может применяться на практике. Один из путей преодоления слабости, касающейся ставки дисконтирования, это использование анализа чувствительности с варьированием станки дисконтирования. Пели окажется, что показатель эффективности проекта не чуветтпе.юн к изменению величины ставки дисконтирования, то дерево решений может быть использовано для оценки инвестиционных возможностей. Остается вопрос, касающийся быстрого роста сложности дерева решений. Эту проблему могут помочь решить диаграммы влияния.
Подобно деревьям решений диаграммы влияния представляют тип модели с неопределенными рассуждениями. Диаграммы влияния это компактное представление Байесова подхода. Они имеют те же основные преимущества, что и деревья решений, однако, в отличие от деревьев решений они могут: моделировать непрерывные переменные; представлять взаимоотношения между переменными дискретными, непрерывными или обоих типов; имеют более эффективную процедуру решения; позволяют строить более полные модели неопределенности.
Еще одно преимущество диаграмм влияния состоит в том, что, хотя они математически эквивалентны деревьям решений, они не представляют графически всех возможных сценариев. Важные детали проблемы представлены, но они представлены локально. В отличие от деревьев решений диаграммы влияния представляют скорее отношения между проблемными компонентами, а не отношения между каждой возможной комбинацией решения и результатами. Это позволяет более четко увидеть зависимость между событиями на диаграмме влияния, чем на дереве решений. Количество вершин на диаграмме влияния