Итак, мы нашли справедливую цену опциона на рисковый актив за единицу времени до момента его исполнения. Единственные сведения, которые нам для этого потребовались, — это коэффициенты увеличения или уменьшения цены актива, а также безрисковая процентная ставка. Заметим, что при этом не требуется знать вероятности повышения или понижения цены.
Мы проиллюстрировали понятие безрискового опционного хеджа на конкретном примере, но сама эта техника имеет универсальный характер. В общем случае рассмотрим портфель, включающий:
a) продажу одного колл опциона,
b) покупку h единиц основного актива,
c) займа в размере В.
Величины h и В нужно подобрать так, чтобы финансовый результат портфеля при исполнении опциона был нулевым как при увеличении, так и при уменьшении цены основного актива. Для этого должны выполняться равенства
IS7
huS - Cup - BR =0, hdS - Cdown - BR=0,
где R = e u,
i — непрерывно начисляемая сложная безрисковая процентная ставка, Сир и Cdown — СТОИМОСТИ опциона при исполнении в случаях повышения и понижения цен.
Получилась система из двух уравнений с двумя неизвестными, и с помощью несложных алгебраических действий можно найти ее решения: h - (Cup - Cdown) / [S(u-d)] иВ = (dCup -u Cdown) / [R(u-d)| . Равенство нулю начального потока наличности означает, что
С - hS+R=0. Подставляя сюда выражения для h и В, получим:
С = [(R-d)Cup -(u-R) Cdown] / R(u-d). И, наконец, после замены
р = R-d / u-d получаем более удобное выражение для цены однопериодного опциона:
C = [pCup-(l-p)Cdown]/R.
Величины р и (1 - р) выглядят как вероятности, поскольку их значения всегда попадают в отрезок от нуля до единицы, а полученное соотношение можно интерпретировать следующим образом: в любой момент времени стоимость опциона равна текущему значению среднего итогового результата, если при вычислении среднего каждый возможный результат берется с весом, равным вероятности его появления.
Посмотрим, что дают эти уравнения в рассмотренном выше конкретном примере:
h = (20 - 0) / (100(1,2—0,9)) = 0,6667, В = (0,9 * 20 - 1,20 * 0) / (1,1 * (1,2 - 0,9)) = 54,55 руб. и, следовательно,
С = hS - В = 0,6667* 100 - 54,55 - 12,12 руб.
188
Этот метод оценивания однопериодных опционов легко распространить на опционы с более длинными сроками. Рассмотрим, например, случай двухпери-одного опциона. На следующем рисунке рассмотренный ранее пример продолжен еще на один шаг. Здесь, по-прежнему, начальная цена актива равна 100 руб., и = 1,2, d = 0,9. Если цена на каждом из двух шагов будет расти, то в итоге она будет равна 100 * 1,2 * 1,2 = 144 руб. (рис.3.2.6)
90 \ 4,85
81 ^ 0
Рис.3.2.6. Двухшаговая биномиальная схема оценки опциона.
Аналогично, если на каждом шаге она будет падать, то в итоге окажется равной 81 руб. Если, наконец, цена сначала поднимется, а затем опустится, или наоборот, то в итоге она будет равна 108 руб.
Чтобы оценить двухшаговый опцион, можно разбить полную задачу на несколько более простых задач. Начнем с правой верхней части диаграммы данного рисунка. Эта подзадача, по сути, полностью совпадает с задачей для од-ношагового опциона. При помощи соотношений (1) и (2) находим коэффициент хеджирования h и величину Сир — они равны 1 и 29,09 руб., соответственно. Аналогично поступаем с правой нижней частью рассматриваемого рисунка, получая при этом коэффициент хеджирования 0,3 и Cdown = 4,85 руб. Мы нашли значения цепы опциона за один шаг до исполнения. Осталось только подставить полученные числа в предыдущий рисунок и обработать левую часть диаграммы. Это — опять-таки задача оценки одношагового опциона. Применив еще раз предыдущие формулы, получим коэффициент хеджирования 0,81 и цену опциона 19,1 руб.
189
В решетке, описывающей двухшаговую модель, имеется три вершины, в которых цена может подняться или опуститься. Для каждой из этих вершин с помощью соотношения (1) определяется безрисковый хедж из опциона и основного актива. Коэффициент хеджирования может меняться от вершины к вершине. Это существенное свойство биномиальной модели, и в нем отражена реальная практика финансистов, которые при хеджировании портфеля опционов постоянно уравновешиваю! хеджирующий портфель, чтобы поддерживать нейтрализацию риска. В двухшаговом примере, представленном на последнем рассмотренном рисунке, для хеджирования опциона нужно взять 0,81 ед. основного актива. Если цена акшма затем понизится, то следует продать 0,51 ед. основного актива, чтобы уменьшить коэффициент хеджирования до 0,3. Наоборот, если цена актива возрастет, следует докупить его в количестве 0,19 ед., доведя этим коэффициент хеджирования до 1.
Вышеприведенная процедура может быть легко распространена на множество периодов. Если время реализации опциона t разделить на п равных интервалов, каждый длиной h=t/n, и повторить тот же процесс, начиная со дня реализации опциона и двигаясь назад, тогда общая мультипликативная биномиальная формула для оценки опциона будет [204]:
I (n!/j!(n-j)!)*p' (l-pf maxCu'cT'S - Е, 0)
Первая часть (n!/j!(n-j)!)*p' (1-p)'1"1 - это формула биномиального распределения, определяющая вероятность того, что цена актива сделает] прыжков на п шагов, каждый с вероятностью р. Последняя часть - max(uldn"lS - Е, 0) - дает стоимость колл опциона к сроку реализации. Суммируя все возможные произведения стоимости опциона к сроку реализации и соответствующей вероятности, получаем ожидаемую терминальную стоимость опциона, которая затем дисконтируется по безрисковой ставке за п периодов.
190
Можно возразить против такого подхода на основе дискретной от периода к периоду биномиальной оценки, поскольку в реальности цена актива может принимать более двух значений в конце каждого периода. Однако эта проблема может быть легко разрешена, поскольку продолжительность периода может быть выбрана достаточно малой. В пределе если количество периодов п движется к бесконечности, мультипликативный биномиальный процесс аппроксимирует логарифмически нормальное распределение.
Выбирая параметры (u, d, p) так, что средняя и вариация непрерывно компаундированной ставки доходности в дискретном биномиальном процессе совместимы в пределе с их непрерывными дубликатами, цена актива станет логарифмически нормально распределена и функция биномиального распределения перейдет в (кумулятивную) функцию стандартного нормального распределения. Кокс, Росс и Рубинштейн показали, что при стремлении п к бесконечности вышеприведенная биномиальная формула переходит в формулу 1эл жа-Шоулза с непрерывным временем [121].
Биномиальная модель обладает достаточной гибкостью, позволяющей работать с активами, изменение цен на которые соответствуют любому заданному распределению доходности. Нужный закон изменения цен можно обеспечить за счет выбора подходящих значений для и и d, причем в разных частях решетки они могут быть разными. Обычно и и d выбираются так, чтобы биномиальная модель аппроксимировала соответствующее практике логарифмически нормальное распределение цен.
Существует несколько ограничений применения биномиальной модели:
• биномиальная модель - это дерево, и оно может стать очень громозд
ким при возрастании количества временных периодов;
• также как и в случае с моделью непрерывного времени биномиальная
модель наиболее приемлема, когда есть только один фундаментальный
источник неопределенности.
•
191
3.3. Оценка стратегических инвестиционных проектов с учетом реальных опционов.
3.3.1. Реальные опционы и стратегический NPV.
Концепция реальных опционов явилась ответом на неудовлетворенность многими учеными и практиками традиционными методами оценки и отбора инвестиционных проектов. X )сс и Лбернати [138|, Хэес и Гарпии [139] обнаружили, что стандартные IXT методы часто недооценивают инвестиционные возможности, ведут к близоруким решениям, потере конкурентной позиции, вследствие игнорирования или недостаточного учета стоимости важных стратегических возможностей.
Идея Майерса [175] рассматривать дискретные инвестиционные возможности как «опционы роста» далее была развита Кестером [151, 152], как концепция стратегических и конкурентных аспектов возможностей роста. Другие концептуальные методики реальных опционов представили: Мэйсон и Мертон [169], Тригеоргис и Мэйсон [203], Брейли и Майерс [112], Кулатилака и Маркус [155]. Мэйсон и Мертон [169] начали обсуждение многих операционных и финансовых опционов. Болдуин и Кларк [107, 108] обсудили важность учета организационных возможностей в стратегических инвестициях.
Количественная оценка реальных опционов берет свое начало от работ Блэка и Шоулза [110] и Мертона [173], касающихся оценки финансовых опционов. Кокс, Росс и Рубинштейн [121] с помощью биномиального подхода представили более упрощенную оценку опционов в дискретное время. Мэргрэб [168] оценил опцион обмена одного рискового актива на другой, Стулз [200] анализировал опцион на максимум из двух рисковых активов, а Джонсон [145] рассмотрел опционы на несколько рисковых активов. Эти исследования открыли возможности для анализа общего опциона переключения среди альтернатив [156], а также относительных опционов (например, временное прекращение
i о:
проекта [171], отказ от проекта с учетом остаточной стоимости [178], или переключение между разными входами и выходами). Ингерсоль и Росс, МакДо-нальд и Зигель, Мэйд и Пиндайк оценили стоимость опциона ждать [143, 167, 172]. Геске [134] оценил компаунд опцион (т.е. опцион на приобретение другого опциона), который, в принципе, может применяться для оценки возможностей роста, которые появляются после реализации начальных инвестиций. Кэрр [1 17] объединил два вышеназванных блока для оценки последовательных (компаунд) обменных опционов, включая опцион приобретения последующего опциона обмена одного актива на другой рисковый актин.
Несмотря на огромную теоретическую важность, ранние работы в области реальных опционов имели малую практическую ценность, потому что они фокусировались на оценке отдельных реальных опционов (т.е. один тип опциона в один период времени). Реальные проекты чаще включают множественные реальные опционы, которые к тому же взаимодействуют друг с другом. Раньше других эту проблему рассмотрели Бреннан и Шварц [113, 114, 115], которые определили комбинированную стоимость опционов прекращения и возобновления проекта и отказа от проекта ради остаточной стоимости. Тригеоргис [201] рассмотрел природу взаимодействия реальных опционов, отметив, что присутствие последующих опционов может увеличить стоимость исходного актива для ранних опционов, в то время как реализация предыдущих реальных опционов может изменить (например, расширить или ограничить) актив сам по себе, и, таким образом, стоимость последующих опционов тоже. Таким образом, общая стоимость набора реальных опционов может отличаться от простой суммы стоимостей отдельных опционов.