dS0 = m So dt + s So dz , где
So - цена актива в начальный момент времени; m - постоянная ожидаемая ставка доходности; s - стандартное отклонение; dt - малый промежуток време-
180
ни; dz - приращение стандартного винеровского процесса (со средним 0 и вариацией dt).
И использование формулы Блэка-Шоулза, и использование уравнений частных производных предполагает владение достаточно сложными математическими методами. Даже если использовать простую формулу Блэка-Шоулза, нужно понимать, как сделать правильные предположения, чтобы оценка пошла правильным путем.
3.2.2. Схемы конечных разностей.
В своей статье Блэк и Шоулз показали, что применение стратегии дублирования динамического портфеля приводит к фундаментальному уравнению частных производных, которое может применяться для определения стоимости колл опциона [110]:
Уг crS2Fss + (г - 5) SFS - FT - rF + d = 0 (1)
где
Fs = dF / dS;
FT = dF / di = -Ft;
Fss = d2F / dS2;
d - это платеж опциона;
5 - это постоянный дивидендный доход.
Схемы конечных разностей это метод, который предполагает конвертирование соответствующего дифференциального уравнения с непрерывным временем в набор дифференциальных уравнений с дискретным временем и решение этих уравнений, используя стандартный итеративный обратный процесс [113]. Целью применения метода конечных разностей является аппроксимация частных производных Fs, FSs и Ft. Основная идея состоит в замене частных производных на соответствующие конечные разности. Проиллюстрируем этот под-
181
ход на примере Американского пут опциона на бездивидендную ценную бумагу.
Неявный метод.
Существуют несколько вариантов аппроксимации частных производных конечными разностями. Например,
Fs= dF / dS = (Fj+i, j-Fjj) / H (прямая аппроксимация в точке j)
или
Fs= dF dS = (FL, - F,.L|) /11 (обратная аппроксимация в точке]).
В неявной схеме симметричная аппроксимация использует среднее из представленных выше:
Fs = (Fj-H.i - Fj.|,j) / 2Н + O(At2) (центральная аппроксимация в точке j).
Вторая частная производная, FSs, получается из разностей путем обратной аппроксимации B(i+l,j) и (i, j)
Fss = d2F/ dS2 = (Fi+ij - 2Fj,j + F,.,.,) / H2 + O(H2) (обратные разности в j)
Аппроксимация прямыми разностями используется для F,:
Ft = dF / dt = (FJ.J+I - Fj.j) / К + O(/\t) (прямая аппроксимация в i).
Подставим вышеприведенные разности для Fs, FSs и F, в уравнение частных производных (1).
Ci+ Fi+ij + Cj° Fg + Cj" Fj.ij = Fi.j+i
где
c,+ = -'/2(a2iH-r)*i*K;
Cj"=-l/2(CT2i-r)*i*K;
i = 0,l,2,...,M
j = 0, 1,2,...,N.
Вышеприведенное выражение показывает отношение между тремя разными (неизвестными) стоимостями опциона в момент j (Fj+i,-,, F,,, F,.i.,) и одной (известной) стоимостью опциона в момент j+1 (т.е. Fkj+i), где Cj\ Cj1 и Cj* могут рассматриваться как переходные вероятности от состояния i в момент j к состоянию i+1, i, или i-1 в момент j+1, соответственно. Эта система может быть
182
решена рекурсивно, начиная с терминального условия (при j=N), и, двигаясь назад по одному шагу в один момент времени к началу (j=0).
При j = N-1, например, получаем:
Ci Fj+i.N.i + Cj FJ.N-I + Cj Fj.i^.i = Fj.N
Это уравнение может быть записано в более общей матричной форме:
CFj = Fi+l или Fj = С ' Fj+1
Это система из М-1 одновременных уравнений (для i = 1,2,...,М-1), кото
рые должны быть решены одновременно для М-1 неизвестной (F| \.|, FI.N-I
ГМ-I.N-l )?
Однажды полученные эти стоимости сравниваются со стоимостью ранней реализации: если (ЕХ - i DS > F|N.|), тогда стоимость ранней реализации (ЕХ-i*DS) заменяется на FiN.|.
Этот процесс повторяется итеративно для j = N-2, N-3, ..., 2, 1, 0. В итоге получаем начальные (j=0) стоимости опциона F|,o, F2,o, •••, FM-i. о. включая искомую стартовую стоимость.
Явный метод.
Вместо того чтобы решать (М-1) одновременных уравнений относительно трех разных стоимостей опциона в момент j и с одной стоимостью опциона в момент j+1, как в методе неявных конечных разностей, можно упростить решение, выбрав точку (i,j+l) вместо точки (i, j). Используя конечные разности в точке j+1 (вместо точки j), получаем:
Fs = (Fj+i,j+i -Fj.|,j+i)/2H (центральная аппроксимация в j+1)
и
Fss = (Fj+i.j+i - 2 Fjj+i + Fj.ij+i) / H2 (обратные разности в j+1)
( F( = (Fj.jj-i -Fj,j) /К - то же самое, прямые разности в точке i).
В итоге получаем уравнение явных конечных разностей:
Fu = (pri:iTij+i + Pi°Fij+i +Pi"Fi.i.j-i)/(l +i"K),
где
Pi4 = '/2(cri + r)*i*K = -Ci\
183
Pi° = 1 - ст2г К = 1 - (pi+ + Pi-),
i = 0,l,2 M; j = 0,l,2,...,N.
В отличие от неявной схемы вышеприведенное выражение дает отношение между одной (неизвестной) стоимостью опциона в момент j (Fj,) и тремя разными (но известными) стоимостями опциона в момент j+1 (F,t| jtt, Fjjti, F,.| |T|). Поскольку все данные известны (или могут быть вычислены) из предыдущего шага в обратном итеративном процессе, нужно решить только одно простое уравнение в один момент времени, а не набор одновременных уравнений, как в неявной схеме.
Коэффициенты pj+, pi" и р" теперь являются действительно (риск-нейтральными) вероятностями, которые показывают, что переменная состояния, которая была в состоянии i в момент j, прыгнет вверх (в состояние i+1), вниз (в состояние i-1) или останется в том же состоянии (i) к следующему периоду времени (j+1). Сумма всех вероятностей должна быть равна 1, и они все должны быть неотрицательными.
По существу явный метод утверждает, что текущая стоимость опциона получается из ожидаемых будущих стоимостей опциона последующего периода путем дисконтирования назад на один период по безрисковой ставке. Уравнение снова решается итеративно, начиная с терминального условия G=N).
В общем, схемы конечных разностей могут быть использованы для оценки и европейского и американского типа опционов, и расчет по ним более эффективен, когда нужно определить целый набор стоимостей опциона в момент 0. Также эти методы могут применяться, когда есть несколько переменных состояния в многоразмерной решетке. Неявный метод требует больших расчетов, чем явный метод, но он позволяет избежать проблем конвергенции. Правильно сформулированная схема с определенными конечными разностями может рассматриваться, как эквивалент динамического программирования.
184
Схемы конечных разностей трудно применять в случае с исторически зависимыми платежами, и они вовсе не могут быть использованы в тех случаях, когда невозможно записать уравнение частных производных, описывающее динамику изменения стоимости опциона. Хотя эти модели интуитивно более понятные, чем модели с непрерывным временем, они все же требуют серьезных знаний в области математики и для разработки и для использования. Их также трудно просчитывать, и поэтому они редко используются на практике.
3.2.3. Биномиальная модель.
Биномиальная модель основана на возможности построения безрискового хеджа при покупке опциона с последующей непрерывной корректировкой хеджа вплоть до погашения опциона. Если бы такая возможность существовала, то оценивание опционов стало бы аналогичным оцениванию других производных финансовых инструментов, например, фьючерсов. Единственное различие состоит в том, что опционный хедж нужно постоянно подправлять, тогда как другие хеджи, например фьючерсный хедж, после построения не требуют особых забот [6,204].
Чтобы пояснить суть этого процесса хеджирования, допустим сначала, что за каждый шаг по времени цена актива может возрасти или понизиться только на определенную свою долю. Если в момент времени t цена равна S, то в момент t + A t она может либо возрасти до uS, либо понизиться до dS. Допустим, что имеется колл опцион на этот актив, имеющий в момент t цену С. При росте цены основного актива до uS цена опциона также возрастет до некоторой величины Сир, а при понижении цены до dS— понизится до величины Cdown. Эти параллельные изменения цен показаны на рисунке. Так как возможны ровно два варианта изменения цены основного актива, то этот процесс назвали биномиальным (рис.3.2.4).
185
US
Cup
Актив
dS Cdown
Рис.З.2.4. Один шаг биномиального процесса.
Например, пусть S = 100 руб., и — 1,2, d — 0,9, опцион имеет цену исполнения 100 руб. и его погашение произойдет через один шаг по времени. Тогда при росте цены актива до 120 руб. опцион при исполнении будет стоить 20 руб., а если цена актива упадет до 90 руб., то опцион при исполнении обесценится. Этот конкретный сценарий показан на рисунке (рис.3.2.5).
120 20
Актив ^* Опцион
100 ^ С
90 0
Рис.3.2.5. Один шаг биномиального процесса. Пример. Единственная неизвестная величина — это стоимость колл опциона за один шаг до исполнения, С. Покажем, что эту величину можно найти с помощью построения безрискового хеджа из опциона и основного актива. Рассмотрим портфель, полученный в результате:
a) продажи трех колл опционов по цене С каждый,
b) покупки двух единиц основного актива по цене 100 руб. каждая,
c) взятия 163,64 руб. в заем на один рассматриваемый период времени под
10%.
Чистый поток наличности при формировании портфеля составит: ЗС - 200 + 163,64 = ЗС- 36,36.
При исполнении опциона возможны два варианта, и все платежи для каждого из них представлены в таблице 3.2.1.
Платежи по портфелю, составленному из опционов и основных активов
186
Таблица.3.2.1
Поступления от продажи актива Платежи по короткой кол л позиции Возврат долга Чистый моток наличности
Повышение
2х 120-240 3 х (-20) - -60 -180 0
Понижение
2 х 90- 180
3 х (0) - 0
-180
0
Видно, чю эта специально подобранная комбинация основного актива, займа и опционов приводит к одним и тем же финансовым результатам и при повышении цены основного актива, и при ее понижении. Таким образом, мы имеем безрисковый хедж. Коль скоро итоговая ценность полученного портфеля всегда равна нулю, его справедливая цена при формировании также должна быть нулевой. Следовательно, ЗС - 36,36 = 0 и С = 12,12 руб.