Принципиальная несимметричность опционов, т.е. их различное поведение в случаях движения рынка вверх и вниз, означает, что должны быть и опционы другого типа, зеркальные отражения введенных выше колл опционов. Это — пут опционы. Пут (put) опцион — это право продать определенное количество активов по оговоренной цене в определенный день или ранее. Пут опцион также дает покупателю некоторое право, не накладывая никаких обязательств.
167
Предметом опционного контракта могут служить самые разные активы, в том числе: акции, валюты иностранных государств, облигации, казначейские векселя, реальные активы, инвестиционные проекты (реальные опционы) и т.п. Отличаясь от других финансовых инструментов, опционы порождают и новую терминологию (табл.3.1.1).
Таблица 3.1.1. Терминология, связанная с опционами
ТЕРМИН
КОЛЛ(САЕГ) ПУТ (PUT)
ЗНАЧЕНИЕ
право купить предмет опциона право продать предмет опциона
ПОКУПАТЕЛЬ (Option BUYER)oimHona
сторона, имеющая право исполнить опцион
ПРОДАВЕЦ (Option SELLER)onniioHa
сторона, обязанная выполнить условия контракта, если опцион предъявлен к исполнению
цена ИСПОЛНЕНИЯ (STRIKE or EXERCISE price)
цена, по которой опцион может быть исполнен; обычно фиксируется
дата ИСПОЛНЕНИЯ или ПОГАШЕНИЯ (EXPIRY or MATURITY date)
последний день, когда опцион может быть исполнен
опцион АМЕРИКАНСКОГО типа
опцион, который может быть исполнен в любой день вплоть до даты погашения
опцион ЕВРОПЕЙСКОГО типа
опцион, который может быть исполнен только в день погашения, не ранее
ПРЕМИЯ
сумма, которую покупатель уплачивает продавцу за приобретение опциона
ВНУТРЕННЯЯ СТОИМОСТЬ*INTRINSIC
VALUE)
положительная прибыль, которая может быть получена при немедленном исполнении опциона
ВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ (TIME VALUE)
величина, на которую премия за опцион превышает его внутреннюю стоимость
ВЫГОДНЫЙ (IN-THE-MONEY)
опцион, обладающий внутренней стоимостью
11ЕВЫГОДНЫИ (OUT-OF-THE-MONEY)
опцион без внутренней стоимости
СПРАВЕДЛИВЫЙ (AT-THE-MONEY)
опцион, для которого цена исполнения равна цене основных активов
168
3.2. Модели оценки стоимости опционов.
Модели оценки стоимости финансовых опционов разработаны и успешно применяются уже несколько десятилетий. Не удивительно, что с появлением концепции реальных опционов, первыми моделями для их оценки были именно модели оценки финансовых опционов. Наиболее популярными их них являются три типа моделей: модели с непрерывным временем; схемы конечных разностей; биномиальные модели [62, 100, 125, 163].
3.2.1. Модели с непрерывным временем.
В моделях оценки опционов предполагается, что изменение цены актива в будущем подчиняется известному, хорошо определенному процессу. В частности, в моделях с непрерывным временем предполагается, что цена актива имеет логарифмически нормальное распределение, а доходы от актива - нормально распределены.
Нормальное распределение часто встречается в природе, поэтому логично предположить, что изменение цены актива также ему подчиняется. Однако такое предположение по ряду причин неудобно, нормально распределенная величина может принимать как положительные, так и отрицательные значения, что для понятия цена недопустимо. Оказывается, что, хотя изменение цены актива не может быть описано с помощью нормального распределения, доходность актива во многих ситуациях имеет нормальное распределение.
Если инвестор покупает акцию за 100 руб., то он может получить доходность и +10%, и -10%. Однако нужно быть очень аккуратным в отношении смысла слова "доходность". На первый взгляд, кажется, что инвестору нечего огорчаться, если стоимость его вложений сначала возрастет на 10%, а потом снизится на 10% — он просто вернется в исходное положение. Но это не так -
160
при росте на 10% цена его акций возрастет со 100 до 110 руб., а при последующем понижении на 10%— понизится со 110 до 99 руб.
Использование логарифмов ценовых отношений позволяет более точно определить доходность, чем использование самих ценовых отношений. Другими словами, доходность удобнее определять равенством:
доходность = In (St+i / St), а не обычно используемым соотношением:
доходность = S ,. 1 / S ,,
где S , -?-? рыночная цена актива в момент t, a S ,, | — в момент Ml. Используя этот метод, можно посмотреть, как изменится цена, если доходность за первый период времени составит +10%, а за следующий -10%. При начальной цене 100 руб. получаем:
S, =100 *е01 =110,52 руб., S 2 =110,52 *е °' = 100 руб.
После повышения на 10% и снижения на 10% цена, в соответствии со здравым смыслом, вернулась к своему исходному уровню. Посмотрим, как изменится цена, если доходность будет составлять +10% ежегодно на протяжении 7 лет. При начальном значении 100 руб. цена будет расти так:
100; 110,52; 122,14; 134,99; 149,18; 164,87; 182,21; 201,38. В абсолютном выражении цена через семь лет удваивается, при этом последовательные ежегодные приращения цены каждый раз увеличиваются. Посмотрим теперь, что будет в случае уменьшения цены на 10% в течение 7 лет (тоже начиная со 100 руб.):
100; 90,48; 81,87; 74,08; 67,03; 60,65; 54,88; 49,66.
В этом случае за 7 лет цена уменьшается вдвое, и при этом ежегодные уменьшения цены становятся все меньше, т.е. в большую сторону цены растут все быстрее, а в меньшую — "сжимаются".
Теперь вернемся к понятию финансовой доходности, считая, что она имеет нормальное распределение. Если доходность имеет симметричное нормальное
170
распределение, то распределение цен будет иметь искаженное нормальное распределение: левая часть распределения сжимается, а правая растягивается. В этом легко убедиться, сравнивая следующие рисунки: на первом изображена функция плотности нормального распределения доходности со средним 10% и стандартным отклонением 20% (рис.3.2.1), на втором - функция плотности соответствующего распределения цен (рис.3.2.2).
f 0,02
Среднее = 10% Ст.откл. = 20%
3ll sot"
50 70'
доходность
Рис.3.2.1. Нормальное распределение доходности.
Распределение цен, показанное на рис.3.2.2, называется логарифмически нормальным распределением, потому что логарифм рассматриваемой переменной (в данном случае — цены) распределен нормально. Чтобы лучше понять связь между доходностью и ценами, рассмотрим сначала распределение доходности.
Мы определили доходность через логарифм ценовых отношений, и предположили, что она подчиняется нормальному распределению:
ln(St/S0)~N(m,s), (1)
где So — цена актива в момент времени 0, S, — цена в момент времени t.
171
N(m,s) — нормально распределенная случайная величина со средним m и стандартным отклонением s.
0,02
Среднее = 112,75 Сг.откл. = 22,55
0,015
0,01
0,005
Рис.3.2.2. Логарифмически нормальное распределение цены. Из данного соотношения следует, что логарифм цены распределен нормально, так как
In St ~ In So + N (m, s),
причем So — константа. Таким образом, цены распределены логарифмически нормально и удовлетворяют соотношению
St/S0~exp{ N(m,s)}, (2)
Из первого соотношения следует также, что средняя ожидаемая доходность есть просто т:
E[lnS,/S0] = m, (3)
где Е[-] — оператор математического ожидания.
Можно показать, что среднее значение ценового отношения вычисляется по формуле
E[S,/S0] = exp{m + s2/2}. (4)
Справедливая цена любого финансового актива равна его средней ожидаемой стоимости. Например, если цена акции с вероятностью 40% окажется рав-
172
ной 30 руб., а с вероятностью 60% — равной 50 руб., то ее справедливой ценой в этот момент должно быть:
(0,4 * 30) + (0,6 * 50) = 42 руб.
Этот принцип применим и к опционам. Справедливая стоимость опциона в день исполнения равна сумме всех возможных значений его стоимости, умноженных на вероятности принятия стоимостью этих значений. В приведенном выше простом примере было всего два возможных исхода. Стоимость опциона, однако, может принимать практически любое значение, и поэтому нужно использовать не дискретные, а непрерывные случайные распределения. В случае дискретного распределения вероятность определенного исхода можно измерить просто по высоте соответствующего столбика на диаграмме. В случае непрерывного распределения вероятность попадания итогового значения в определенный промежуток измеряется площадью фигуры, расположенной под соответствующим участком кривой.
Согласно определению колл опциона, его ожидаемая стоимость при исполнении равна
b:(CT]-E[max(S,-X,0)] (5)
где Е[С i J — ожидаемая стоимость колл-опциона при исполнении, S1— цена актива в день исполнения, X — цена исполнения опциона.
При исполнении опциона может случиться одно из двух. Если S| > X, то опцион при исполнении будет выгодным и max(Si - Х,0) = Sт - X. Если же Sт < X, то опцион при исполнении будет невыгодным и max(ST - X, 0) = 0. Если р -вероятность того, что ST > X, то соотношение (5) перепишется так:
Е[СТ] = р * (E[ST|ST>X]-X) + (1-р) * 0 = p*(E[ST|ST>X]-X) (6)
где р — вероятность того, что S \ > X,
E[S?(? | S | > X] — среднее ожидаемое значение Sт при условии, что S г > X.
Равенство (6) дает формулу для среднего ожидаемого значения стоимости колл опциона при исполнении. Чтобы получить его справедливую цену на день
173
заключения контракта, нужно полученную величину продисконтировать к ее текущему значению:
С = р * е ""'"' * (E[ST I ST>X]-X) (7)
где С — справедливая цена опциона при заключении контракта, г — безрисковая процентная ставка, t — время до погашения опциона.
Таким образом, проблема оценки опциона свелась к двум несколько более простым задачам:
a) найти вероятность р того, что опцион при исполнении будет выгодным,
т.е. что S| > X,
b) найти Е [ST|Sr > X] — условное ожидание цены основного актива при
условии, что опцион при исполнении будет выгодным.
Обе задачи можно решить, если цена актива распределена логарифмически нормально. На рисунке 3.2.3 изображено такое же логарифмически нормальное распределение, как и ранее, но с выделенным участком, где цены выше 120 руб. Именно эта часть распределения определяет стоимость опциона с ценой исполнения 120 руб. Площадь заштрихованной части составляет 34% всей площади под графиком, поэтому вероятность того, что итоговая цена превысит 120 руб., равна 0,34. Среднее, взятое только по заштрихованной части, равно 137,89 руб. При непрерывно начисляемой сложной процентной ставке 12% справедливая цена опциона с ценой исполнения 120 равна: